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微分方程高效解法:广义特征值问题的Matlab谱方法

时间:2023-10-31 理论教育 版权反馈
【摘要】:而广义特征值问题的形式为:Au=λBu 其中,A和B为已知方阵,u为未知非零向量,λ为未知常数。使上式成立的λ称为特征值,相应的向量u称为特征向量。求解广义特征值问题通常选用QZ法,在Matlab中的调用形式为eig(A,B)。则式的矩阵形式为:对于这样的广义特征值问题,求解代码如下:程序5-27程序输出了前9个正特征值及相应的特征向量,如图5-32所示。

微分方程高效解法:广义特征值问题的Matlab谱方法

标准的特征值问题形如下式:

Au=λu (5-104)

其中,A为已知方阵,u为未知非零向量,λ为未知常数。使上式成立的λ称为特征值,相应的向量u称为特征向量。可用Matlab的eig函数求解上述问题的特征值和特征向量,调用形式为eig(A)。

而广义特征值问题的形式为:

Au=λBu (5-105)

其中,A和B为已知方阵,u为未知非零向量,λ为未知常数。使上式成立的λ称为特征值,相应的向量u称为特征向量。若方阵B可逆,广义特征值问题可化为式(5-104)的形式,即:

B-1 Au=λ u (5-106)

但这么做既不简单也不实用,况且方阵B也未必是可逆的。求解广义特征值问题通常选用QZ法(QZ method),在Matlab中的调用形式为eig(A,B)。以下面的特征值问题为例:(www.xing528.com)

u′′=λxu,-2<x<2,u(±2)=0 (5-107)

N+1维向量u(N+1)×1代表函数u(x)在区间[-2,2]上的切比雪夫点x=(x0,x1,…,xN)T处的取值,删去其首尾元素得到N-1维向量978-7-111-51623-1-Part03-170.jpg。则式(5-107)的矩阵形式为:

978-7-111-51623-1-Part03-171.jpg

对于这样的广义特征值问题,求解代码如下:

程序5-27

978-7-111-51623-1-Part03-172.jpg

程序输出了前9个正特征值及相应的特征向量,如图5-32所示。

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