Matlab微分方程高效解法：界面操作步骤

在Matlab中输入pdetool并回车，可启动图形界面化的偏微分工具箱，如图2-11所示。界面的上侧有一个工具栏，供用户方便、快捷地进行常用操作，如图2-12所示。工具栏中每个按钮的作用见表2-1。

图2-11 偏微分工具箱界面

图2-12 工具栏

表2-1 工具栏按钮说明

下面以一个最简单的实例介绍偏微分工具箱的大致操作步骤。

（1）用工具栏的前5个按钮创建矩形/正方形、椭圆形/圆形或者多边形，双击创建的图形可精确设置其位置和尺寸。如有需要，可使用Draw菜单下的Rotate选项对图形进行旋转操作，还可以使用Options菜单下的Grid选项加入网格以便创建图形时参考。显示区域的坐标范围在Options菜单下的Axes Limits设置，勾选Axes Equal可使横纵坐标的显示比例一致。矩形/正方形参数设置对话框如图2-13所示，设置内容包括左边、下边所在位置，以及长宽和名称。

图2-13 设置矩形/正方形参数

椭圆形参数设置对话框如图2-14所示，设置内容包括椭圆中心的坐标、半轴长度、旋转角度和名称。

图2-14 设置椭圆形参数

圆形参数设置对话框如图2-15所示，设置内容包括圆心的坐标、半径和名称。

图2-15 设置圆形参数

多边形的参数设置对话框如图2-16所示。设置内容为多边形每个顶点的坐标。

（2）每创建一个图形，界面上Set formula后的文本框内都会出现该图形的名称，名称默认为“字母+序号”的形式。字母是形状的缩写，R代表矩形、SQ代表正方形，E代表椭圆形，C代表圆形，P代表多边形。用加/减号连接这些图形的名称，偏微分方程的求解区域即是这些图形进行加、减的结果，比如这里设置为R1-SQ1-C1+E1+P1，如图2-17所示。

图2-16 设置多边形参数

图2-17 偏微分方程的求解区域

（3）点击工具栏上按钮，进入边界模式，可对每一段外边界设置不同的边界条件，如图2-18所示。不同边界条件由颜色区分，狄利克莱边界条件为红色，诺依曼边界条件为蓝色，混和边界条件为绿色。

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图2-18 选择边界

双击一段外边界，弹出边界条件设置对话框，如图2-19所示。可选择狄利克莱“Dirichlet”或诺依曼“Neumann”边界条件，并根据边界条件的表达式（2-45）或（2-46），设置h、r或g、q的取值，式（2-46）中c的取值在下一步设置。

图2-19 设置边界条件

（4）点击工具栏上按钮，弹出偏微分方程参数设置对话框，先在左侧选择偏微分方程的类型，然后在右侧设置具体参数的取值。本例中选择椭圆型方程“Elliptic”，参数取值如图2-20所示。

图2-20 设置偏微分方程参数

（5）点击按钮对求解区域进行三角网格剖分，如图2-21所示。

点击加密三角网格按钮，得到更密集的网格。也可根据实际需要多次加密网格，如图2-22所示。

（6）点击按钮数值求解偏微分方程并输出结果，程序默认使用颜色表示解u的分布，如图2-23所示。

图2-21 三角网格剖分

图2-22 加密三角网格

（7）点击按钮，弹出画图对话框，可在这里设置输出图像的类型。除了彩色图（Color），还有等高线图（Contour）、矢量场图（Arrows）、变形网格图（Deformed mesh）、三维图（Height），也可以设置是否显示坐标网格（Plot in x-y grid）、剖分网格（Show mesh）。

这里选择画彩色三维图并显示剖分网格，如图2-24所示。

图2-23 计算结果

图2-24 画图设置

点击Plot，得到彩色三维数值结果，如图2-25所示。

图2-25 彩色三维数值结果

以上只是一个讲解偏微分工具箱使用步骤的简单实例。针对四种常见类型的具体偏微分方程，下面逐一给出例子。