【摘要】：初值问题是科研、工程技术应用中最常见的一类问题，一阶常微分方程的初值问题表述如下：已知u的起始点以及u的一阶导数表达式为二元函数f(x,u)，求在区间[x0,∞)上满足这两个条件的u。在少数特殊情况下，可以直接求出初值问题的解析解。由于计算un+1只需要un的取值，所以上述方法也称为单步法。与之相对，若用于计算un+1的递推公式除包含un外，还包含un-1,un-2,…数值计算中最重要的就是递推公式，计算的精度、运算量都是由递推公式决定的。
初值问题是科研、工程技术应用中最常见的一类问题，一阶常微分方程的初值问题表述如下：
已知u(x)的起始点(x0,u0)以及u(x)的一阶导数表达式为二元函数f(x,u)，求在区间[x0,∞)上满足这两个条件的u(x)。即：
由于起始点(x0,u0)给出了初始状态的条件，所以被称为初始条件。在少数特殊情况下，可以直接求出初值问题的解析解。对于更一般的情况，就只能通过数值解法求出数值解。数值解法的基本思路就是先对x和u(x)在区间[x0,∞)上进行离散化，然后构造递推公式，再步进式地得到u(x)在这些位置的近似取值。
这些离散的位置可表为：
x1,x2,…,xn,…
数值解法可得到u(x)在这些位置的近似取值：(www.xing528.com)
u1,u2,…,un,…
显然，u(x)在这些离散点处的精确取值为：
u(x1),u(x2),…,u(xn),…
令相邻两个离散点的间隔为一定值h，则有xn=x0+nh(n=1,2,…)，这里h也被称为数值计算的步长。若能构造出这些位置的近似取值un的递推关系，也就是通过un获得un+1的公式，那么就可以依次获得u1,u2,…。由于计算un+1只需要un的取值，所以上述方法也称为单步法。与之相对，若用于计算un+1的递推公式除包含un外，还包含un-1,un-2,…，那么这种数值方法就称为多步法。
数值计算中最重要的就是递推公式，计算的精度、运算量都是由递推公式决定的。下面由浅入深地介绍几种基本的构造递推公式的方法，以引入数值计算的思路和重要概念。
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