实验结果：金属杨氏模量的动态悬挂法测量

【实验概述与思政要素】

杨氏模量是工程材料弹性形变的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。测量杨氏模量的方法很多，包括静态法（拉伸法）、动态法（共振法）、波速测量法以及其他一些测量方法。其中，静态拉伸法目前也是比较常用的一种测试方法，其优点是具有直观性和操作性；但由于其拉伸试验载荷大，加载速度慢，存在弛豫过程，不能真实反映材料的结构变化，对一些脆性材料无法测量，同时也不能测量在不同温度下的杨氏模量的大小。

杨氏模量，又称为弹性模量，一般用英文字母E来表示。在材料的弹性限度之内，它可以量化应力与应变之间的关系。虽然杨氏模量是以19世纪英国物理学家Thomas Young来命名，但是这一概念早在1727年就已经由瑞士数学家Leonhard Euler提出了。有关杨氏模量的实验，最早是在1782年由意大利科学家Giordano Riccati完成的，这一工作比Thomas Young早了25年。杨氏模量中的“模量”一词，英文单词是modulus，这一术语源于拉丁文modus，也就是测量的意思。

目前按照国家标准规定的方法是“动态悬挂法”（或称“动力学法”），它是目前工程技术上经常采用的一种测量杨氏模量方法。

所谓“动态法”就是将一根截面均匀的试样（如铜棒、钢棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下，在其两端自由悬挂的条件下，使其自由振动，实验时测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得该种材料的杨氏模量值。

【实验目的】

①掌握用动态悬挂法测定在室温下金属材料的杨氏模量。

②学习确定试样节点处共振频率的方法（外延法）。

③设计性扩展实验，培养学生综合应用物理仪器及研究探索的科学精神。

【实验原理】

如图4.17.1所示，将一根截面均匀的试样（本实验采用圆截面金属钢棒和铜棒）用两根细金属丝悬挂在两只换能器（一只激振Ⅰ、一只拾振Ⅱ）下面。信号发生器产生一个音频正弦信号通过激振换能器Ⅰ转换成机械振动，由金属悬线传递给试样，激发试样振动，在试样两端自由的条件下试样做横向振动，试样的机械振动再通过另一根悬线传递给换能器Ⅱ，将机械信号还原成电信号，电信号经放大后在示波器上显示出来。

图4.17.1　实验原理

不断调节信号发生器的输出频率，当其频率与试样固有频率一致时，试样共振，通过示波器可以观察到其共振波形振幅突然增加并达到最大。由拾振检测出试样共振时的共振频率f共；再测出试样的几何尺寸、质量等相关参数，根据试样的横振动方程，即可求得材料的杨氏模量E。

如图4.17.2所示，将一均匀棒挂起来，并使之发生横向振动，在一定条件下（l≫d），其横振动方程为

式中，y为竖直方向振动位移；x为横向变量；t为时间；ρ为棒的密度；S为棒的截面面积；E为试样的杨氏模量；J称为其截面的惯性矩（）。可用分离变量法求解该方程（具体求解过程参考本实验参考资料），对圆形棒得

式中，l为棒长；d为棒直径；m为棒的质量；f为棒横向振动的固有频率，记为f固。在国际单位制中杨氏模量的单位为N·m﹣2。

由式（4.17.1）可知，测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f固及各力学参数，即可计算出它在不同温度时的杨氏模量。测量时可采用如图4.17.2所示的装置。本实验只计算室温下的杨氏模量。

值得指出的是，本实验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简单，在推导以上两个公式时也是根据基频的对称性振动导出的，同时需要指出，利用动态悬挂法通过共振求出的频率为共振频率f共，其与试样的固有频率f固有一定的差别，两者关系如下：

图4.17.2　悬挂式实物

式中，Q为试样的机械品质因数。因为用悬挂法测量杨氏模量时，一般Q值的最小值为50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，在本实验中测得的是共振频率，由于两者相差极小，故式（4.17.2）中的固有频率f固在数值上可用试样的共振频率f共代替。

实验中有两个问题需加以注意：

①式（4.17.2）给出杨氏模量E的计算公式，其中f是棒横向振动的基频，在实验中要加以判断。

②从图4.17.2中看到测试棒横向振动的激发与拾振是通过悬丝与换能器连接的。若连接点不在棒横向振动的波节上，则横向振动的方程不满足。若连接点就在波节上，则不能激发与拾取试样的振动。因此如何测量f成为实验的关键，一般可采用外延测量法来计算固有频率。具体做法如下：

按照式（4.17.2）的解，测试棒对应基频的横向振动的两个波节分别在0.224l与0.776l处，如图4.17.3所示。

a.先将激振与拾振的两悬丝分别连接在棒0.1l与0.9l上，寻找其共振频率f1。

b.将两悬丝逐渐从每间隔0.02l间距向里推进，分别寻找出对应的频率f2，f3，…，直到悬挂点处于0.22l与0.78l的位置上。

c.以l为横坐标，f为纵坐标作图，将图线延升至0.224l处所对应的f，即为该棒的共振频率f共。

图4.17.3　棒横振动的两个波节

【实验仪器】

电子天平、游标卡尺、信号发生器、悬挂式杨氏模量测试台、示波器等。

【实验内容】

①用游标卡尺分别测量测试棒的各力学量l、d各3次。

②用电子天平分别测量出测试棒的质量m。

③按图4.17.2连接各实验装置，并将悬丝分别连接在测试棒的0.1l与0.9l处。悬挂测试棒细金属丝要保证竖直向下，并保证测试棒与上方仪器横梁平行。

④将两悬丝以每间隔0.02l向里靠拢，分别记下频率f2，f3，…

⑤由小到大逐渐调节信号发生器的频率，并观察示波器信号的变化，通过频率微调，当示波器显示的拾振信号（交流信号）在某一频率处达到极大，则认为信号发生器的激振频率与测试棒共振，并记下该频率f1。

⑥作图计算测试棒的固有频率f。

⑦代入式（4.17.2）计算该棒的杨氏模量。

⑧可换取测试样品重复①～⑥的步骤，求出不同试样的杨氏模量E。数据记录于表4.17.1。

注意：

①关于样品的共振频率f的测量方法，可根据实验现场实际情况，由指导教师指导后测量。

②根据实验原理，要使试样自由振动就应把悬线吊扎在试样的节点上，但这样做就不能激发和拾取试样的振动，因此实际吊扎位置要偏离节点。(www.xing528.com)

③仪器频率选择分为三挡：500Hz～1kHz，1～1.5kHz，1.5～2kHz。“频率调节”为频率粗调，“频率微调”为频率的细调，做实验时两者必须配合使用，频率值由5位数码管显示。

【数据处理】

①将测量数据记入表4.17.1。

②正确计算出两种不同材料在室温下杨氏模量值E，通过查阅本书附录，查询室温20℃下相关的杨氏模量值，与之比较求其相对误差，并分析其误差产生的原因。

表4.17.1　数据记录表

【注意事项】

①因换能器为厚度为0.1～0.3mm的压电晶体，用胶粘在0.1mm左右的黄铜片上构成，故极其脆弱，放置测试棒时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。

②两根悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面，测定时应使试样不摆动。

③调节支撑点保证测试棒在竖直方向上振动。

④信号源—换能器（放大器）—示波器均应共“地”。

【思考题】

1.试样的固有频率等于共振频率吗？

2.在实验中根据什么方法判断真假共振峰？

3.还可以用什么方法测定固有频率？

4.动态悬挂法测杨氏模量实验仪的主要工作原理是，首先主机产生_____________（正弦波、方波）电信号，通过换能器1转换为_____________（机械波、电磁波），在被测金属棒中以____________（纵波、横波）的形式传播，然后通过换能器2转换成____________（机械、电）信号输入示波器中。

5.动态悬挂法测杨氏模量实验中，当信号发生器的频率等于试样的____________时，示波器的波形幅度____________，读出的频率就是试样在该温度下的____________。

【参考资料】

用分离变量法求解横振动方程

横振动方程，用分离变量法求解过程如下：

令y（x，t）=X（x）T（t），代入横振动方程，得

等式两边分别是x和t的函数，这只有等于一个常数才有可能，该常数设为K4，得

这两个线性常微分方程的通解分别为

X(x)=B1chKx+B2shKx+B3cosKx+B4sinKx

T(t)=Acos(ωt+φ)

于是解振动方程式的通解为

y(x,t)=(B1chKx+B2shKx+B3cosKx+B4sinKx)Acos(ωt+φ)

其中，称为频率公式。对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。只要用特定的边界条件定出常数K，并将其代入特定截面的转动惯量J，就可以得到具体条件下的计算公式了。

如果悬线挂在试样的节点附近，则其边界条件为自用端横向作用力，即

弯矩为

即

将通解代入边界条件，得到cosKl·chKl=1；用数值解法求得本征值K和棒长应满足

Kl=0,4.730,7.853,10.966,…

由于其中一个根“0”对应静态情况，故将第二个根作为第一个根，记作K1l。一般将K1l所对应的频率称为基频频率。在上述Kml值中，第1，3，5，…个数值对应着“对称形振动”，第2，4，6，…个数值对应着“反对称形振动”。可见试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离断面分别为0.224l和0.776l。将本征值代入，得到自由振动的固有频率（基频），即

解出杨氏模量为

对于圆棒

式中，d为圆棒的直径。

得到