【实验概述与思政要素】
刚体转动惯量是理论力学中一个表征刚体转动特征的物理量，是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量的大小与刚体质量的大小，转轴的位置、质量对转轴的分布等因素都有关。
本实验的重要意义在于可以准确测量出复杂刚体的转动惯量。在理论课中学习过对于形状简单的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量。但对形状复杂的刚体，用数学方法计算就非常困难了，有时甚至不可能。因此学会一些测量刚体转动惯量的实验方法是有用的。正确测定物体的转动惯量，在工程技术、工业制造及产品设计中有着重要的意义。实践是检验真理的唯一标准，在理论课中学习过的转动惯量公式是否正确，我们也可以在实验中加以验证，并对比实验结果和理论计算结果之间的差异。
测量刚体转动惯量的实验方法很多，所用实验仪器也各异，其中以三线摆的设计最为简单。三线摆是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是物理图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义。圆盘在用三根悬线悬挂起来后，不再需要用固定的转轴来支撑，也不会产生因转轴倾斜而增加的摩擦，实验结果稳定，误差小。
圆环摆则是一个复摆，本实验把三线摆，圆环摆和单摆联系在一起，一方面是为了丰富实验内容，更重要的是为了活跃学生的思想，培养开拓创新的钻研精神。因此，学生在实验时切勿仅以测出物体的转动惯量大小为唯一目的。
【实验目的】
①学习用三线摆测量刚体转动惯量的实验方法。
②通过圆环摆讨论移轴定理。
③研究转动惯量与质量分布、摆动周期等之间的关系。
【实验原理】
（1）三线摆和测量转动惯量
在理想情况下，用完全柔软、没有弹性的悬线构成的三线摆，在摆角很小，并忽略空气阻力的情况下，圆盘的角位移和它所受的由悬线的张力和重力的合力形成的力矩的大小成正比而方向相反。这与单摆的小角摆动相一致。因此三线摆可看成是一个准简谐振动系统。
如图4.8.1所示，在圆盘绕中心轴摆动起来后，圆盘的质心就沿着转轴上升并随之下降，摆动过程中的转动动能和重力势能相互转化。
图4.8.1 三线摆
当圆盘离开平衡位置向某一方向转过一个角度θ0时，整个圆盘的位置升高h，增加的势能为
式中，m为圆盘的质量；g为重力加速度。
圆盘在达到最大角位移后将反向转动，当它通过平衡位置时，其转动动能最大
式中，I为圆盘的转动惯量；ω0为圆盘通过平衡位置时的角速度。
如果不考虑空气的阻力，根据机械能守恒定律Ep=Ek，有
分析图4.8.1中各量关系，在θ0足够小的条件下，有
而圆盘的最大角速度为
合并式（4.8.3）、式（4.8.4）和式（4.8.5），得
式中，T为圆盘的摆动周期；l和L分别为上下圆盘悬点到中心轴的距离；H为两圆盘之间的垂直距离，在圆盘上加载重物后，H有时会伸长。但g、L、l等均为常数，令
得
上式即为测定圆盘绕中心轴转动时转动惯量的实验公式。其理论公式为
式中，R为圆盘的半径。
测定三线摆圆盘的转动惯量，是三线摆实验的基础。之后无论圆盘上放上任何待测物，只要用测量圆盘转动惯量的相同实验过程，测出总的转动惯量，再减去圆盘的转动惯量后，即可得到待测物体的转动惯量。
例如，测量圆环绕中心轴的转动惯量I0，根据以上讨论，把质量为m0的圆环放在圆盘上，使两者的中心轴重合。测得它们共同绕中心轴摆动的周期T0，则圆环的转动惯量
式中，I为圆盘的转动惯量；H0为放上圆环后三线摆上下圆盘间距离。其理论公式为
式中，R1和R2分别为圆环的内外半径。
（2）圆环摆和移轴定理
如图4.8.2所示，将圆环悬挂在立柱一侧的刀口上，使它在竖直面内做小角摆动，与单摆的摆动周期
相似，圆环的摆动周期为
式中，IA为圆环绕过A点的转轴的转动惯量；h为悬点A与圆环质心之间的距离，即圆环的内半径R1。由此得移轴后的圆环的转动惯量为
图4.8.2 圆环摆
若将圆环移轴前后的转动惯量IA和I0之差用理论公式
与实验数据比较，其差值若在误差允许的范围内为
，则可以认为移轴定理是正确的。
（3）用三线摆研究转动惯量与质量分布、摆动周期等之间的变化关系
将两个（或三个）质量为mx，半径为Rx，形状完全相同的圆柱体对称地放在圆盘上，如图4.8.3所示。圆柱体中心离圆盘中心的距离为x。测得它们共同绕中心轴摆动的周期为Tx，则单个圆柱体绕中心轴转动的转动惯量为
式中，I为圆盘的转动惯量，Hx为上下圆盘之间的距离。根据移轴定理，其理论值为
图4.8.3 三线摆下圆盘俯视图
如果改变圆柱体中心离圆盘中心的距离x，分别测出相应的摆动周期Tx和转动惯量Ix，作Tx-x图和Ix-x2图，从中即可发现一些它们之间的变化关系。
【实验仪器】(www.xing528.com)
实验过程中所使用的仪器主要包括三线摆（含圆环、圆柱体3个）、电子数字计时器、水准器、尺、游标卡尺和电子天平。
（1）三线摆
如图4.8.4所示，一个质量均匀的圆盘用三根细线悬挂起来，3个悬点在圆盘的周边均分圆周。悬点上端对称地悬在较小的上圆盘上，利用调整螺钉可分别调整三根悬线的长度，使圆盘达到水平。若将上圆盘扭转一个小角度，在悬线张力和重力的共同作用下，圆盘将在平衡位置附近往复摆动。通过对摆动周期等参数的测量，可以测定圆盘和圆盘上盛放的物体的转动惯量。
（2）电子数字计时器
计时器的外形如图4.8.5所示。计时由鼠标控制，点击左键可以“启动/停止”计时，点击右键可以对计时器的时间“复零”。
图4.8.4 三线摆装置结构
图4.8.5 电子数字计时器
【实验内容】
①测定三线摆圆盘、圆环等绕中心轴转动的转动惯量。
②用圆环摆测定圆环移轴后的转动惯量，并讨论移轴定理。
③研究转动惯量及其质量分布、摆动周期等之间的变化关系。
操作步骤如下：
①测量出上圆盘三悬点之间的距离a，取平均值
。计算出悬点到中心轴的距离
在测量小圆盘悬点之间的距离时，可先放松圆盘顶端的固定螺丝，将小圆盘转过90°角，便于测量。
②将水准器置于三线摆的圆盘上，调整上圆盘边上的3个调整螺丝，改变三根悬线的长度，使圆盘水平，并用固定螺丝将3个调整螺丝固定。
③在测量两圆盘之间的垂直距离H时，鉴于两圆盘可能不平行，应该在3个悬点处，测出3个H值，取平均值。
④轻轻转动上圆盘，约5°，使圆盘摆动。用数字计时器测量圆盘摆动30次所需的时间t，再求出转动周期T。但在测量圆环摆的摆动周期时，则需要测量摆动60次以上所需要的时间。
⑤在用计时器测量时间t时，应在圆盘转角最大（角速度最小）时开始计时，并默数4、3、2、1、0，当数到“0”时，启动计时。这样既有一个启动思想准备过程，又不会少计一个周期。
⑥根据实验原理，测量出其他各有关参数。实验中务必分清各量的“足标”，以免搞混。
【数据处理】
①用三线摆测量圆盘绕中心轴转动的转动惯量I。
常数：
=____________m3·s﹣2
实验值：
=____________kg·m2
理论值：
=____________kg·m2
相对误差：E=____________
②用三线摆测量圆环绕中心轴转动的转动惯量I0。
圆盘绕中心轴的转动惯量：I=____________kg·m2
实验值：
=____________kg·m2
理论值：
=____________kg·m2
相对误差：E=____________
③用圆环摆测定圆环移轴后的转动惯量，并验证移轴定理。
实验值：
=____________kg·m2
理论值：
=____________kg·m2
相对误差：E=____________
④用三线摆研究转动惯量与质量分布、摆动周期等之间的变化关系。
2mx=________;Hx=________;
Rx=________.
实验值：
=____________kg·m2
理论值：
=____________kg·m2
相对误差：E=____________
作Tx-x图和Ix-x2图，并讨论实验结果。
将实验值和理论值作比较。
注意：理论值也是通过实验测量计算出来的，因此也有误差。
【思考题】
1.为什么测量圆环摆的摆动时间t的次数要比测量三线摆的摆动次数多？试从误差分析角度讨论。
2.试讨论三线摆摆动时，摆角的大小对实验结果的影响，并讨论其所引起的误差的大小。
3.圆环摆和三线摆一样，都是准简谐振动，把圆环摆的摆动周期TA用单摆的摆动周期公式表示，有
请从理论和实验两方面讨论其摆长lA。
4.若三线摆圆盘上所放待测物的质量与圆盘的质量m相等（3只圆柱体的质量与圆盘的质量基本相等），请问这时三线摆的最小摆动周期应是多少？试从理论和实验两方面进行讨论。
5.三线摆在摆动过程中，受到空气阻尼，振幅越来越小，其振动周期__________。
A.越来越大 B.越来越小
C.保持不变 D.忽大忽小
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