大学物理实验：驻波实验实测结果及波长与张力关系

【实验概述与思政要素】

塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）是位于美国华盛顿州塔科马的两条悬索桥。大桥在1940年6月底建成后不久（通车于1940年7月1日），人们就发现大桥在微风的吹拂下会出现晃动甚至扭曲变形的情况。这种共振是横向的，沿着桥面的扭曲，桥面的一端上升，另一端下降。司机在桥上驾车时可以见到另一端的汽车随着桥面的扭动一会儿消失一会儿又出现的奇观。因为这种现象的存在，当地人幽默地将大桥称为“舞动的格蒂”。塔科马海峡大桥的坍塌使得空气动力学和共振实验成为建筑工程学的必修课。这里的共振和受迫共振（由周期运动引发的，如步伐整齐的一队士兵渡桥）不同。在该案例中没有周期性扰动。当时风速稳定在每小时42英里（67km/h），频率0.2Hz。这样的风速本应对大桥构不成威胁。因此此次事件只能被理解为空气动力学和结构分析不严密所致，以后所有的桥梁，无论是整体还是局部，都必须通过严格的数学分析和风洞测试。

驻波显示了波的干涉特性，它在声学、光学、无线电工程学等方面都有广泛的应用。本实验通过对弦振动驻波现象的观察和测量，使学生加深对驻波的认识和理解，并体会在多参数实验中，如何合理安排好实验。

【实验目的】

①观察在两端被固定的弦线上形成驻波的现象，了解弦线达到共振和形成稳定驻波的条件。

②通过不同途径，测量弦线上横波的传播速度，并分析比较其结果。

③用实验的方法确定弦线做受迫振动时的共振频率与驻波波腹个数、弦线有效长度、张力及弦线线密度之间的关系。

④研究弦振动时波长与张力的关系。

【实验原理】

（1）驻波的形成

设有两列频率相同、振幅相同、初相为零的简谐波，分别沿Ox轴正方向和Ox轴负方向传播，如图4.5.1所示。它们的波动方程分别为

两波相遇各点的位移，为两波各自引起的位移的叠加结果，即

上式显示，波动的振幅虽与时间无关，但它却是位置x的函数。这说明各点的振幅随着距原点的距离x的不同而不同，但并不移动，形成驻波。

图4.5.1　驻波形成过程

（2）驻波波形特点分析

由式（4.5.1）可知，当时（其中K=0，1，2，…），y=0，即这些点的振幅始终为零，称为波节。

当时（K=0，1，2，…），y=2A，这些点的振幅最大，等于2A，称为波腹。

相邻两波节（或波腹）之间的距离恰为。因此在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或波腹）间的距离，就可以确定其波长。

（3）弦线上横驻波的传播速度

信号源振动一次在弦线上产生一个波，波长为λ。信号源振动的频率为ν，则波速v为

若这时R1与R2之间的距离，即弦长l上有n个半波长，则波长，弦线上的波速为

可以证明，在线密度（单位长度的质量）为ρ，张力为F的弦线上，横波的传播速度（见附录）为

波长为

【实验仪器】

如图4.5.2所示，将漆包线的两端分别连接到驻波实验仪上，漆包线跨过两个劈形滑块，再绕过定滑轮，挂上一定质量的砝码。漆包线的下方放置磁铁。驻波实验仪提供一定频率的信号（频率可以改变的低频信号），通电的漆包线在磁铁产生的磁场中产生安培力，按信号频率做横向振动而产生横波。信号源所发出的波沿漆包线向滑轮一端传播，受到劈形滑块的阻碍反射回来。入射波和反射波在漆包线上相干合成为驻波。

图4.5.2　驻波实验仪器

SW-3型驻波实验仪装置如图4.5.3所示。图中AA′、BB′为连接弦线和信号发生器的两对接线柱，A和A′，B和B′已连接好。C为定位杆，上有小孔，弦线穿过小孔，可以定位弦线的位置。R1、R2为两块劈形滑块，用以调整弦线的振动区长度l（简称弦长）。D为一支米尺，用以测量金属滑块之间的距离。M为磁铁，E为滑轮，挂以连钩砝码。每组砝码3个。10g 1个，20g1个，40g1个。

图4.5.3　SW-3型驻波实验仪器

【实验内容】

（1）观察弦线上的驻波

固定左滑块的位置，移动右滑块，即可将弦长l设置为一定的长度。改变滑轮下的砝码钩上的砝码质量m，则可改变弦线中的张力F=mg，由小到大仔细调节信号频率ν，使弦线上产生若干个波形清晰、稳定的驻波。为了使波腹的形状更加明显，便于观察和测量，可将信号输出调至最大1A。

磁铁的作用是使载流导体在磁场中因受安培力的作用，按信号频率做横向振动产生横波。若磁铁放在波节的位置，则观察不到驻波，因此，在观察波形时必须随时移动磁铁至波腹的位置，才能观察到清晰的驻波波形。

与此类似，选定一定的砝码质量和信号频率ν，仔细调节弦长l，使弦线上产生若干个波形清晰、稳定的驻波。

通过这部分实验，体会在调节过程中的一些实验技巧。例如，如何选择弦长l、张力F、振动频率ν以及振幅强度，磁铁放在弦线下的什么位置较好，怎样才算是波形清晰、稳定的驻波等，以便顺利地进行以下的定量测量。这种先定性观察，后定量测量的实验过程，是实验者应该养成的良好习惯。

（2）测量弦线上横波的传播速度

①如弦线不变，张力不变，弦长l也不变，调节振动频率ν，测量波速。将测量结果填入表4.5.1。

表4.5.1　调节振动频率测量横波波速数据记录(www.xing528.com)

②如弦线不变，张力不变，振动频率也不变，调节弦长l，测量波速。将测量结果填入表4.5.2。

表4.5.2　调节弦长测量横波波速数据记录

（3）研究弦线上横波的波长与张力的关系

对式（4.5.5）求对数得

可见lnλ和lnF间是线性关系。可作lnλ～lnF图，求出图线的斜率a和截距b。检查是否和与相吻合。

如弦线不变，振动频率也不变，改变弦线中张力若干次。仔细调节弦长l，使波形清晰、稳定。将数据填入表4.5.3。

表4.5.3　弦线上横波的波长与张力的关系测量数据记录

可改变振动频率ν，其他参数不变，重复以上实验。表格自拟。

【数据处理】

①完成横波波速测量中表4.5.1和表4.5.2，并作分析比较。两组实验数据在理论上应当是相等的，分析存有差异的原因，并与用公式计算得到的结果作分析对比。

②根据表4.5.3测得的数据在作图纸上作lnλ～lnF图，从图中求得斜率a和截距b的值，并与理论值进行比较，计算实验的相对误差E。

③在实验报告中分析本实验的误差产生的原因，并思考是否有改进的方法。

【思考题】

1.如果在载流导线的下方放两块磁钢，其中一块的S面朝上，这时另一块应放在导线下方的什么位置，驻波的波腹将增大或减小？这块磁钢向上的一面是S面，还是N面？将其中一块的N面朝上，它们又应分别放在什么位置，驻波的波腹会增大或减小？为什么？这与你对驻波的理解吻合吗？

2.本实验弦线的线密度是用天平秤得的，而某些实验教材则是用公式求得的，并在后续实验中，以此计算得到的线密度ρ和波速v，合适吗？为什么？

3.驻波实验中，完成以下问题：

（1）在下图中画出磁铁放置最合适的位置。

（2）如果两滑块之间的距离为60cm的弦线上，观察到2个波腹，其中，通入金属弦线上的电流频率为120Hz，根据实验公式求弦线张力大小。（线密度ρ=0.1736×10﹣3kg/m）

【附录】

公式的证明

图4.5.4　弦线受力分析

在传播驻波的弦线上，截取一微线元ds，其线密度为ρ。该线元的两端1与2处，分别受张力F1和F2的作用，方向沿弦线的切线方向，如图4.5.4所示。F1、F2与x轴的夹角分别为α1和α2。因线元仅在y方向振动，x方向的合外力为零。得

由牛顿第二定律

因弦线的振动振幅不大，故

由式（4.5.7）得

F2≈F1≈F

由式（4.5.8）得

将上式中的首项按泰勒级数展开并略去二级小项，得

由式（4.5.9）和式（4.5.10）得

即

与波动方程比较可得