大学物理实验：最小二乘法

由一组实验数据拟合出一条最佳直线，常用的方法是最小二乘法。设物理量y和x之间满足线性关系，则函数形式为

y=a+bx

最小二乘法就是用实验数据来确定方程中的待定常数a和b，即直线的斜率和截距。

下面讨论最简单的情况，即每个测量值都是等精度的，且假定x和y值中只有y有明显的测量随机误差。如果x和y均有误差，只要把误差相对较小的变量作为x即可。由实验测量得到一组数据为（xi，yi；i=1，2，…，n），其中x=xi时对应的y=yi。由于测量总是有误差的，将这些误差归结为yi的测量偏差，并记为ε1，ε2，…，εn，如图2.5.2所示。这样，将实验数据（xi，yi）代入方程y=a+bx后，得到

图2.5.2　yi的测量偏差

要利用上述的方程组来确定a和b，那么a和b要满足什么要求呢？显然，比较合理的a和b是使ε1，ε2，…，εn数值都比较小。但是，每次测量的误差不会相同，即ε1，ε2，…，εn大小不一，而且符号也不尽相同。所以只能要求总的偏差最小，即

令

使S为最小的条件是

由一阶微商为零得

解得

令，则

如果实验是在已知y和x满足线性关系的条件下进行的，那么用上述最小二乘法线性拟合（又称一元线性回归）可解得斜率a和截距b，从而得出回归方程y=a+bx。如果实验是要通过对x、y的测量来寻找经验公式，则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否恰当。这可用下列相关系数r来判别：

其中。

可以证明，值总是在0和1之间。值越接近1，说明实验数据点密集地分布在所拟合的直线的近旁，用线性函数进行回归是合适的。表示变量x、y完全线性相关，拟合直线通过全部实验数据点。值越小线性越差，一般时可认为两个物理量之间存在较密切的线性关系，此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义，如图2.5.3所示。

图2.5.3　相关系数与线性关系

思考题

1.试判断下列测量是直接测量还是间接测量。你还能举出哪些例子？

（1）用弹簧测量力的大小　（2）用天平称物体质量

（3）用伏安法测量电阻　（4）用单摆测量重力加速度

2.试比较下列测量的优劣。

(1)x1=(55.98±0.03)mm(2)x2=(0.488±0.004)mm

(3)x3=(0.0098±0.0012)mm(4)x4=(1.98±0.05)mm(www.xing528.com)

3.通过仪器或者量具可以直接读出测量值的测量方法称为________，需要通过函数关系的辅助计算得出测量结果的方法称为________。

4.绝对误差是指________和________的差，相对误差是指________和________之比。

5.用一只精度为1.0级，量程为15V的电压表测量某一电压为10V的标准电源，读数为10.05V，该表的最大绝对误差为________，测量结果的绝对误差为________，相对误差为________，该测量结果完整表示为________。

6.系统误差有________的特点，随机误差有________的特点。

7.游标卡尺的初始读数不为零，此误差属于________误差；测量中估读时的误差属于________误差；被测量随温度的变化而变化，测量时未考虑温度的影响产生的误差属于________误差；某测量在计算过程中采用近似计算，其误差属于________误差；测量工具的分度线不准属于________误差。

8.实践和理论都表明，大量的随机误差服从________规律，从而验证了________是真值的最佳估计值。

9.合成不确定度的数字取舍规则：一般仅保留________位有效数字（若首位数为1或2时可取两位），尾数采用“________，非零进一”的取舍规则。

10.测量值的数字取舍规则：尾数采用________的取舍规则，测量值的末位数要与合成不确定度的末位数________。

11.用电子秒表（Δ仪=0.01s）测量单摆摆动20个周期的时间t，测量数据如下：

试求单摆摆动周期T及测量不确定度，并写出测量结果。

12.利用单摆测重力加速度g，当摆角θ<5°时有的关系。式中l为摆长，T为摆动周期，它们的测量结果分别为l=（97.69±0.03）cm，T=（1.984±0.023）s，试求重力加速度g的测量值及其不确定度，并写出测量结果。

13.试推导下列间接测量的不确定度合成公式：

14.已知某圆柱体质量m=（236.12±0.05）g，直径d=（2.345±0.005）cm，高h=（8.21±0.05）cm。求圆柱体的密度及不确定度，并分析直接测量值m、d和h的不确定度对间接测量值ρ的影响程度的大小。

15.改正下列错误，写出正确答案。

（1）0.10860的有效数字为六位（2）P=（31690±300）kg

(3)d=(10.8135±0.0176)cm(4)E=(1.98×1011±3.27×109)N/m2

(5)g=(9.795±0.0036)m/s2(6)R=6371km=6371000m=637100000cm

16.根据有效数字运算规则计算下列各题。

17.一定质量的气体，当体积一定时压强与温度的关系为

p=p0(1+βt)cmHg

通过实验测得一组数据如下：

试用作图法求出p0、β，并写出实验经验公式。

18.试用最小二乘法对习题17的数据进行直线拟合，求出p0和β值。

19.用伏安法测量电阻的实验数据如下：

试用逐差法求电阻R。