多元统计分析中的一般约束估计简介

在APC模型刚刚被提出时，研究者便开始使用一般约束估计（generalized constrained estimation）的思想来求解APC模型，该思想至今仍是APC模型估计的核心理念之一。在最初的约束估计中，研究者在对年龄、时期和队列数据进行分组虚拟变量编码之后，一般会选择假定其中某两个年龄组、时期组或队列组的效应相等（例如，年龄组1＝年龄组2），以此来避免三个因素之间的完全线性依赖关系，得到APC模型的解（Fienberg＆Mason，1979）。

假设我们要用上述约束估计方法来对表14-1中的聚合数据进行APC估计，则有方程式14-7：

由于APC模型秩亏为1，因此上式至少需要指定约束条件age groupm＝age groupn，或periodm＝periodn，或cohort groupm＝cohort groupn，使模型恰好可识别。当然，可以同时指定多个约束条件，此时模型过度识别。在此情况下，所使用的约束条件就决定了无数个解中的哪一个具体的解（估计值）将会被得到。(www.xing528.com)

更一般地，假设研究者所添加的约束条件c为agem＝agen，此时约束条件下的向量c＝（0，…，1，…，　－1，0，…，0）′（此时APC矩阵中的第m项为1，第n项为－1），此时X′X的最后一行被替换为（0，…，1，…，－1，0，…，0）。随后，需要重新计算这个新矩阵的逆（即倒数），再用0替换这个逆的最后一列，从而得到与该约束条件相关的逆，该逆是存在的，故可以得到该约束条件下的一个确定解。

APC模型的一般约束估计在操作层面上比较简单，模型也易于理解，但一般需要研究者提供足够的证据来证明其所设定的约束条件具有足够的合理性。与事实相符的约束条件能够帮助我们得到准确的估计值，而不符合实际情况的约束条件则会大大降低约束估计的准确性。