线性发展模型的介绍-多元统计分析与实现

用于纵向数据分析的发展模型与用于其他多层数据分析的多层模型在原则上是相同的。在分析纵向数据的两水平发展模型中，水平1观察单位是各研究对象内的重复观察值，而水平2观察单位则是个体研究对象。水平1模型或个体内模型可表述为：

其中，yij为研究对象j的第i次的结局测量，β0j为截距，tij是水平1单位时间变量，如时间分值；β1j是tij的回归斜率；eij是误差项（假设其服从以零为均数、以σ2为方差的正态分布）。注意，β0j和β1j都是随机回归系数，代表不同研究对象有不同的结局测量初始值和结局测量随时间变化的不同变化率。

水平2模型或个体/对象间模型为：

其中，γ00和γ10分别代表控制个体水平（水平2）解释变量xj后的结局测量平均初始水平和平均变化率。系数γ01和γ11为解释变量xj的回归斜率，分别解释结局测量初始水平和变化率在个体间的变异。u0j和u1j分别代表第j个观察个体结局测量初始水平和变化率与平均初始水平和变化率的差异。该随机效应假设分别服从以零为均数、以为方差的正态分布。

将公式（13-2）和公式（13-3）代入公式（13-1），得到以下组合模型：

其中，（γ00＋γ01 xj＋γ10 tij＋γ11 xj tij）是模型的固定效应成分，（u0j＋u1j tij＋eij）是模型的随机效应成分，其中（u0j＋u1j tij）为个体水平或个体间随机效应，eij为个体内随机效应或残差项。(www.xing528.com)

发展模型也可以表达成矩阵形式。结局变量的总方差可表达为：

如同线性模型，y的均数或期望值是通过固定效应β来分析的，而y的方差是通过G（随机效应的方差/协方差）矩阵和R（水平1误差的方差/协方差）矩阵来分析的（王济川，2008）。在一个完整混合效应线性模型中，我们既可为G矩阵，也可为R矩阵设定合适的方差/协方差结构。但如前所述，对于纵向数据，我们并不一定非要构建一个完整模型。第一，如果我们把回归系数的随机变异纳入模型，残差方差/协方差结构可以设定为R＝σ2I，即假设残差相互独立，且残差方差相等。第二，如果我们侧重于用适当的个体内方差/协方差结构来处理个体内的观察相关问题，则可以为R矩阵设定适当的方差/协方差结构，而将随机效应成分U设置为零（Luke，2004）。在后一种情况下，方程简化成了固定效应模型，但带一个结构性残差矩阵。

其中e～N（0，R），R矩阵可以被设定为各种适当的形式。如果我们进一步假设R为σ2I，则模型便简化成传统的固定效应线性模型。

在实际研究中，人们通常先从亚模型开始，然后在考虑完整模型。完整模型含有固定效应和随机效应，其两个随机成分（U和e）的方差/协方差矩阵的结构需要恰当地设定。

以上，我们简单介绍了发展模型——多层模型在纵向数据中的运用。下文，我们将从简单的模型开始，由浅入深，进一步介绍该模型的具体运用，并用实际数据进行阐述和演示。