多元统计分析中的Fisher判别法

Fisher判别又称典则判别（canonical discriminant），其适用范围为两类、多类判别。下面结合两类判别问题，叙述Fisher判别的原理。采取Fisher判别准则，使得类间点的距离最大，但类内点的距离最小。

Fisher判别的步骤如下：首先我们要建立一个Fisher判别函数。已知A、B两类观察对象，A类有nA例，B类有nB例，分别记载了X1，X2，…，Xm个观察指标，称为判别指标或者判别变量。Fisher判别法就是找出一个线性组合：

使综合指标Z在A类的均数与在B类的均数的差别尽可能大，而两类内综合指标Z的变异尽可能小，即使λ达到最大。

此时公式（7-6）称为Fisher判别函数，C1，C2，…，Cm称为判别系数。对λ求导，不难验证判别系数可由下列标准方程组解出：

其中分别是A类和B类第j个指标的均数（j＝1，2，…，m）；Sij是X1，X2，…，Xm的归并协方差阵的元素。

其中，分别为Xi和Xj于A类和B类的观察值。(www.xing528.com)

第二步我们要建立Fisher判别准则。在创立判别函数后，按公式（7-6）逐例求出判别函数值Zi，进而求出Zi的两类均数与总均数接着按下面公式来计算判别界值：

判别规则：

第三步，我们要估计各项指标对判别函数的贡献率，使用公式（7-12）进行估计。对贡献率很小的指标我们可以选择剔除，重新构建只有重要指标的判别函数。

特别说明的是，有的学者提出将Fisher两类判别的方法用于多类判别。那么方法是先将多类资料按接近程度分为两大类。如有资料显示原来类别可能是三类：一类、二类、三类，根据接近程度将一、二类的样本归成A类，三类样本作为B类。先作一次两类判别，然后再对合并的类作一次两类判别，直到把每一类都分开就停止分析，即先对A类的样本再按一、二类建立一个判别函数进行判别。第二级以后的判别函数可使用原先的指标，也可换其他的指标。这种方法称作多级两类判别。特别注意的是，进行多级两类判别时合并类时有无实际意义。如果总类数较少，其判别效果可能会差一些。