协方差分析简介|多元统计分析与SAS实现

协方差分析（analysis of covariance，ANCOVA）是将线性回归分析与方差分析结合起来的一种统计分析方法。它用于比较一个因变量在一个或几个因素不同水平上的差异，但因变量在受这些因素影响的同时，还受到另一个协变量的影响，而且协变量的取值人为难以控制，不能作为方差分析中的一个因素处理。例如，当研究学习时间对学习成绩的影响时，学生自身的学习能力就是一个协变量。如果协变量与因变量之间可以建立回归关系，则可用协方差分析的方法排除协变量对因变量的影响，然后再用方差分析的方法对各因素水平的差异进行统计推断。

协方差分析有两个重要的应用条件：一是因变量服从正态分布，各因变量相互独立，各样本的总体方差齐性；二是各总体客观存在因变量对协变量的线性回归关系且斜率相同，即要求各样本回归系数本身有统计学意义，而各样本回归系数间的差别无统计学意义。因此进行协方差分析时，必须先对样本资料进行方差齐性检验和回归系数的假设检验，满足这两个条件后才可作协方差分析。

协方差分析（Rutherford，2000）的基本思想就是将那些定量变量X（指没有加以或难以控制的因素对Y造成影响）看作协变量，建立因变量Y随协变量X变化的线性回归关系的差别，其实质是从因变量Y的总离均差平方和中扣除协变量X对因变量Y的回归平方和，对残差平方和作进一步分解后再进行方差分析，以更好地评价处理因素的效应。(www.xing528.com)

本章用一个最简单的情况：一个协变量，单因素协方差分析为例，对协方差分析的基本原理加以说明（王松桂，1999）。

其中，μy表示Yij的总体平均数，αi表示第i个水平的影响效应，β是Y对X的回归系数，是Xij的总体平均数，εij是随机误差。按照方差分析的不同实验设计类型，相对应也有不同的协方差分析，如有完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计和析因设计等类型的协方差分析，而且协变量可以有一个、两个或多个，分析方法略有不同，但其解决问题的基本思想相同。