多元方差分析（multivariate analysis of variance，MANOVA），亦称为多变量方差分析，即表示多元数据的方差分析，是一元方差分析的推广。当因变量（结果变量）不止一个时，可用多元方差分析对它们同时进行分析。作为一个多变量过程，多元方差分析将多个因变量看作一个整体，分析因素对于多个因变量的整体影响，发现不同总体的最大组间差异。多元方差分析是单变量方差分析的推广形式，同样也用于检验不同样本间是否存在显著差异（Groenen＆Meulman，2004）。与单变量方差分析不同，多元方差分析不仅只考虑一个因变量，而是同时建立在多个因变量观测值之上，这也是与一元多因素方差分析最重要的区别。
多元方差分析法对于分析的数据有一定要求：自变量的各个组内，各因变量之间存在线性关系且要求较大的总样本量。此外，使用多元方差分析进行分析时，还需要考虑以下假设：（1）数据来自随机样本，各观察对象之间相互独立。（2）各因变量服从多元正态分布，多元正态分布指的是多个因变量之间的正态分布，它与单因变量正态分布在形式上尽管不同，但有很多相似之处，实际上是单因变量正态分布在多维上的推广。（3）样本量尽量足够大。（4）各因变量之间存在线性相关关系。（5）各组观察对象因变量的方差-协方差矩阵相等，即方差齐性。协方差矩阵计算的是不同因变量之间的协方差：
假设数据集有三个响应变量{x，y，z}，则协方矩阵为：
协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个因变量的方差。协方差矩阵的球形性是指该对角线元素（方差）相等、非主对角线元素（协方差）相等（王学仁，1986）。
对于多元方差分析，假设有i个因变量，j个处理因素水平，则其统计原假设的向量形式如下：
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即多组均向量是否相同的检验。
多元方差分析的基本思想与一元方差分析的基本思想一致，离差平方和与离差积和矩阵（total sum of squares and cross products matrix，SSCP），其实就是ANOVA中SS总 在多元中的对应量。SSCP矩阵T是每个实验单元i个因变量所组成的向量与总平均向量之差，乘以此差的转置阵，最后求和。
其中g为自变量水平数；ni为每组处理中样本个数。
根据公式推导可对离差平方和与离差积和矩阵公式进行分解，最后可得：SSCP＝H（组间矩阵）＋E（组内矩阵）；N＝n1＋n2＋…＋ni
在多元方差分析中有四个检验统计量，分别是：（1）Pillai's Trace：值越大，表明该效应项对模型的贡献越大。（2）Wilks'Lambda：取值范围在0～1，值越小，说明该效应项对模型的贡献越大。（3）Hotelling-Lawley's Trace：检验矩阵特征根之和，其值总是比Pillai's Trace的值大。与Pillai's Trace相似，值越大贡献越大。（4）Roy's Largest Root：为检验矩阵特征根中最大值，因此它总是小于或等于Hotelling-Lawley's Trace。当模型建立的前提条件不满足时，Pillai's Trace最为稳健。Pillai's Trace、Wilks'Lambda、Hotelling-Lawley's Trace和Roy's Largest Root作为四个多元统计量，可用于检验组间差异。其中，最常用的统计量为Wilks'Lambda，该检验p＜0.05时，自变量的组间差异具有统计学意义。如表2-6所示。
表2-6 多元方差分析分解表
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