非线性偏微分方程的对称约化和精确解研究

在前面的小节中，得到了该方程的相应的向量场，下面来考虑对称约化和精确解。

4.2.3.1　对称约化

（Ⅰ）V1对于算子 V1，可以得到

这里η=y，τ=t是群不变量。将（4.83）代入（4.65），可以得到下面的偏微分方程

（Ⅱ）V2

对于向量场V2，有

这里ξ=x，τ=t是群不变量。将（4.83）代入（4.65），约化成下面的偏微分方程

有趣的是，方程（4.83）正是著名的KdV 方程。

（Ⅲ）V3

对于向量场V3，可以得到

这里ξ=x，η=y 是群不变量。将（4.87）代入（4.65），可以得到偏微分方程如下

（Ⅳ）V4

对于向量场V4，可以得到

这里是群不变量。将（4.89）代入（4.65），可以变成下面的偏微分方程

（Ⅴ）V5

对于这种情况，有

这里ξ=t，η=y是群不变量。将（4.91）代入（4.65），产生了下面的偏微分方程

需要注意的是，上面的约化方程都是（1+1）-维的偏微分方程。可以知道，要想得到它们的精确解依然很困难。为了得到它们的解，再次利用李对称方法，简便起见，仅仅考虑方程（4.87）。其他方程可以用类似的方法。

4.2.3.2　方程（4.88）的对称约化和精确解

再次利用李对称方法，有

向量场是

要求依然是系数函数ξ1（x，yt，u），ξ2（x，t，u） 和ξ3（x，t，u）。再次利用前面所述的李对称方法的步骤，可以得到

向量场是

（Ⅰ）V1

对于V1，可以得到

这里p=ξ 是群不变量。将（4.97）代入（4.88）中，可以得到

积分一次，可以得到(www.xing528.com)

这里c是积分常数。

（Ⅱ）V2

对于V2，可以得到

这里p=η 是不变量。将（4.97）代入（4.88）中，可以得到下面的常微分方程

这样可以得到下面的精确解

（Ⅲ）V3

对于V3，可以得到

这里p=ξη−1是群不变量。将（4.103）代入（4.88）中，可以得到

（Ⅳ）V1+λV2

对于线性组合V1+λV2，可以得到

这里p=ξ−λη是群不变量。将（4.108）代入（4.88）中，有

积分一次，可以得到

这里 c1 是积分常数。

4.2.3.3　行波解

这一小节，考虑更一般的情况，也就是带幂律的拓展QZK 方程，现在重写方程如下

这里n表明非线性项的幂律，限制条件是n>0。现在用行波假设方法考虑该方程。开始假设是

其中

同时Bj（j=1，2）是常数，v是孤立子的速度，函数g 是波的形式。将（4.109）代入（4.108），可以得到

这里g′=dg/ds，g′=d2 g/ds2 等。关于s积分（4.111）一次，并令积分常数为零，可以得到

现在将（4.112）乘以g′，再次积分可以得到

依然是令积分常数等于零。从（4.113）中分离变量并积分可以得到

这里振幅 A是

同时B是

则可以得到下面的限制条件

对于偶数值n有

保证了孤立子存在。