【摘要】：因此，有下面的定理定理 4.1.1 如果 v=并且 由或确定，则ZKB 方程（4.1）是非线性自治的。
这一小节，利用伴随方程的方法去考虑ZKB 方程（4.1）的守恒律。并考虑其非线性自治性。
4.1.3.1 非线性自治性
对于ZKB 方程（4.1），伴随方程为
拉格朗日函数可以写成对称的形式
在方程（4.29）中，用u替代v后，得不到原方程，因此原方程不是自治的，我们寻找显式的 ϕ（x，u）≠0
令v=ϕ（t，x，y，u），可以得到
将（4.32）代入（4.31）中可以得到
对于ut的系数，可以得到
注意到 u 以及其他独立项的系数，有
解这些方程，可以得到
方程（4.35）有下面的特解
这里c1，c2和 c3 是常数。因此，有下面的定理
定理 4.1.1 如果 v=ϕ并且ϕ 由（4.36）或（4.37）确定，则ZKB 方程（4.1）是非线性自治的。
4.1.3.2 守恒律
现在利用伴随方程和对称去构建方程的守恒律，伴随方程是
并且拉格朗日方程是(www.xing528.com)
相应的向量场是
算子V 可以导出守恒律
这里 C=（C1，C2，C3） 由下式确定
也就是说
这里
现在来计算守恒律。
情况1.对于算子V=
，有
可以得到，
情况2.对于V=
，有
类似的可以得到，
情况3.对于李代数V=
，有
可以产生
情况4.对于线性组合
，有
类似于上面的步骤，可以推出
显而易见，守恒向量涉及伴随方程的任意解，所以可以得到无穷守恒律。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
