3.2.3.1 势系统的非局域对称
寻找非局域对称是研究非线性演化方程的一项重要工作。因为非局域对称涉及新的变量,所以可以得到新的精确解及非局域守恒律。类似于三阶Burgers方程,可以将四阶Burgers 方程写成下面的势系统
并且将第一个方程代入第二个方程,可以得到下面的势方程
考虑李点对称
满足下面的方程
对于任意的(u,v)。此外,无穷小算子是
三阶延拓公式为
这里
同时,Dx和Dt 依然是全导数算子。
从对称方程,可以得到决定系统,解之得
这里 F=F(x,t),且 F满足Ft−Fxxxx=0。因此,得到下面相应的向量场
3.2.3.2 通过非局域对称线性化势系统
类似于三阶Burgers 方程,试图从对称的角度将四阶Burgers 方程线性化。首先已经知道
有下面的无穷小算子
这里F=(F1,F2) 满足下面的线性方程
依然是利用[95,96]中的定理,
并且假定[95,96,98]:
于是有[95,96,98]:
解这几个方程,可以得到
因此,可逆映射µ由下面式子给出
将势系统(3.84)转换成下面的线性系统
并且有
将四阶Burgers 方程转化成下面的四阶线性的偏微分方程
需要指出的是(3.102)正是著名的 Cole-Hopf 变换。
3.2.3.3 四阶Burgers 方程的线性化
为了将四阶Burgers 方程线性化,首先给出四阶线性偏微分方程的对称
再次,考虑经典李群方法,可以得到
相应的向量场为
这里,F满足
利用[46] 给出的方法,可以得到
因此,有
求解上面的系统,也可以得到 Cole-Hopf 变换
再次,从点对称的角度,同样将四阶Burgers 方程转换成四阶线性偏微分方程。
3.2.3.4 通过Cole-Hopf 变换求显式解
从前面的小节可以看到,利用Cole-Hopf 变换,可以将四阶Burgers 方程转换成四阶线性偏微分方程,因此,只要我们得到四阶线性偏微分方程的显式解,再利用Cole-Hopf 变换,可以得到四阶Burgers 方程的精确解。现在考虑四阶线性偏微分方程(3.104)。对于该方程,
这里
首先,利用李代数给出优化系统[48]:
这里∊是实常数。其中[Xi,Xj]是交换李代数,由下面的式子给出
[Xi,Xj]=Xi Xj−Xj Xi.
表1和表2给出了李点对称的交换表和伴随表示。
表1 李代数交换表
表2 李代数的伴随
可以得到一个一维李代数的优化系统(www.xing528.com)
X3+aV4,a∈R.
X2+bX1+cX4,
这里 b∈−{1,0,1}和c ∈R;如果 b=0,则c∈−{1,0,1}.
X1+dX4,d ∈{−1,0,1}.
X4.
3.2.3.6 显式解
现在,考虑方程的显式解。
(1)对于向量场 X2,可以得到
这里 θ=x。将(3.113)代入(3.104),可以得到
很容易得到该方程的解
利用Cole-Hopf 变换,得到四阶Burgers 方程的显式解为
(2)考虑算子X3,有
这里。将(3.117)代入(3.104),有
解这个方程,可以得到
这里hy 是一般的超几何函数。同时,也可以得到
再次利用Cole-Hopf 变换,可以得到四阶Burgers 方程的精确解为
这里 f 和fx分别由(3.119)和(3.120)给出,而。
(3)对于线性组合 λX1+X2,可以得到
这里θ=x−λt。将(3.122)代入(3.104),得到
解这个方程,可以得到下面的情况:
如果λ<0,则
此外,可以得到
基于Cole-Hopf 变换,可以得到四阶Burgers 方程的显式解为
这里 f 和fx分别由(3.124)和(3.125)给出,θ=x−λt。
当 λ >0时,有
同时可以得到
再次利用Cole-Hopf 变换,可以得到
这里 f 和fx分别由(3.127)和(3.128)确定,θ=x−λt。
(4)对于线性组合X2+aX4,可以得到
这里θ=x。将(3.130)代入(3.140),得到
解这个方程,可以得到
如果a<0,则有
其中。同时有
这里。
考虑Cole-Hopf 变换,可以得到四阶Burgers 方程的显式解为
当 a>0时,有
此外还有
利用Cole-Hopf 变换,可以得到
(5)对于向量场X3+aX4,可以得到
这里。将(3.138)代入(3.104),有
解这个方程,可以得到
同时可以得到
再次利用Cole-Hopf 变换,可以得到四阶Burgers 方程的精确解,这里不再一一列出。
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