守恒律在自然界中的重要角色及Noether定理

对称和守恒律在自然界中扮演着十分重要的角色。大家所熟悉的质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律等，守恒律能够很好地描述许多自然现象，实质上，守恒律和对称性有着十分密切的关系。1918年，德国女数学家Noether 提出了著名的Noether 定理[61]，开创了对称性和守恒律之间关系的重要里程碑。该定理指出，对称性和守恒律之间存在着对应的关系。守恒律在数学中的推广，不但能够很好地描述该方程的物理性质，对于数值方法也有很重要的帮助，而且，守恒律对于研究非线性方程的可积性，非线性偏微分方程的线性化等也起到十分重要的作用，同时在计算数学中，有一些稳定差分格式也要用到守恒律。自然而然，如何构造守恒律成为了一个研究热点。除了上面提到的Noether 定理以外，部分学者提出了一些其他的方法。因为Noether 定理要求所求方程必须有变分及变分对称，然而大多数非线性偏微分方程，并不存在变分。而且Noether 定理求得的守恒律仅是局部守恒律，对于如何求非局部守恒律Noether 定理则已不适用。1962年，Steudel[62]提出特征法，即利用守恒律的特征形式来求守恒律的理论[62，63]。1967年，Boyer[64]简化了Noether 定理的诺特变换，大大减少了计算量。1982年，Benjamin 和Olver[65]改进了特征法，给出了守恒律的变分方法，相比而言，这种方法在求解特征的决定方程时，会更为简便。1996年，Anco 和Bluman[66]从势对称角度出发，给出了如何求非局域守恒律直接方法。1997年，Anco 和Bluman[67]又给出了求守恒律的直接方法。该方法在求守恒律时，不要求原方程存在拉格朗日函数。1998年，Ibragimov、Kara[68]基于Noether 守恒量与Lie-Bäcklund 对称之间的关系，给出了如何求守恒律的对称条件方法。2002年，Anco 和Bluman[69，70]给出了乘子方法，该方法对于任意的非线性偏微分方程均适用。2006年，Kara 和Mahomed[71]利用截断拉格朗日函数以及截断的Noether 对称来构造守恒律，虽然该方法构造过程与Noether 定理类似，然而该方法对不存在拉格朗日函数的非线性偏微分方程也适用，而且对于常微分方程而言，还可以构造常微分方程的首次积分。2007年，Ibragimov[72]利用伴随方程来求非线性偏微分方程的守恒律。

下面将简单介绍Noether 定理、Bluman 所提出的乘子方法以及Ibragimov 提出的伴随方程方法。首先给出一些基本定理以及定义。用x=（x1，x2，…） 表示自变量，u=（u1，u2，…）表示因变量。

定义1.3.1 全导数算子[44-50]

定义1.3.2 欧拉算子[44-50]

定义1.3.3 Lie-Bäclund 算子[44-50]

其中，…。(www.xing528.com)

定义1.3.4 Noether 算子[44-50，61]

定义1.3.5 守恒律[45-50，60]对于下述n阶方程

假定存在m阶解析函数T=（T1，T2，…，Tm），使得

恒成立，则称函数T=（T1，T2，…，Tm）为守恒量。特别自变量仅含有x，t时，Tt称为守恒密度，Tx称为守恒流。