非局域李群方法在非线性偏微分方程中的研究

这一小节，将简单地介绍非局域李群方法，该方法是研究者对经典李群方法的推广。如果无穷小生成元的系数包含了因变量的一阶导数项（接触对称或者切对称）或者高阶导数项（Lie-Bäcklund 对称或者高阶对称）时，称为局域对称。与之类似，如果无穷小生成元的系数包含了非局域变量，就称此对称为非局域（Nonlocal）对称[45，48，60]。

非局域对称最初由苏联数学家Vinogradov 和Krasilshchik[60] 于1980年提出，之后许多研究者基于此方法，提出了许多找非局域对称的新方法。在这方面做出贡献的有：Bluman 教授等，从守恒律角度提出势对称[42]；楼森岳教授、胡星标研究员、陈勇教授等从达布变换、贝克隆变换或者Lax 对去寻找相应的非局域对称[37，52，53，55]。

下面就以Bluman 教授[45]从守恒律角度提出的势对称为例来说明一下其基本的步骤。依然以（1+1）-维情况为例。

第一步：对于给定的偏微分方程

将方程写成守恒律的形式：

这里，D为全导数算子(www.xing528.com)

第二步，引入新的势函数 v（x，t），

第三步，利用相容性条件得到相应的势系统及其相关的子系统，同时给出与子系统相应的非局域相关的偏微分方程树（Trees of nonlocally related PDE systems[45]）。

第四步，利用经典李群方法求解上面的势系统或者子势系统的李对称。考虑单参数李变换群

这里∊是群参数。相应的无穷小生成元可以表示为

定义 1.2.1 [45]：势系统的李点对称称为势对称，当且仅当。