李群及其李代数是数学的一个重要分支，是由挪威数学家Marius Sophus Lie 开创[38]。Lie 最主要的成就之一就是将连续变换群应用到微分方程中去。Lie 对李群在常微分方程中的应用做了全面系统的概述，之后研究了热传导方程的局部变换群，开创了群方法在偏微分方程中的应用的局面。德国著名的女数学家Noether 于1918年提出著名的Noether 定理，发现了对称和守恒律之间的关系。之后40 多年的时间里，李群在微分方程中的应用，并没有引起太多的重视。直到1958年左右，苏联数学家Ovsiannikov[39]研究了微分方程的群和不变解，重新点燃了研究人员对群方法在微分方程中应用的激情。之后，到了1969年，Bluman 和Cole[40]用一种新的方法研究了热传导方程，推广了李群方法（经典李群方法），就是现在的非经典李群方法。1977年，Olver[41]从递推算子角度出发，对如何得到非线性偏微分方程的无穷多对称给出了详细的介绍。大约到了1988年，Bluman 教授等[42]提出了势对称的概念。引入了新的势函数，得到的无穷小变换可能含有新的函数，所以又称非局域对称。伴随着研究的深入，李群在微分方程中的应用越来越广泛，一些经典的李群及应用的书籍相继出版[44-50]。1989年，Clarkson 和 Kruskal[51]在研究Boussinesq 方程时提出了一种新的方法，称为直接约化法。该方法不涉及群论概念，只是一种纯粹的代数方法。楼森岳教授、胡星标研究员等人通过达布变换、潘勒韦分析和Lax 对等来获得非局域对称[37，52-55]。李翊神教授、屈长征教授、陈登远教授、田畴教授、马文秀教授、闫振亚研究员、陈勇教授等[9，56-59]在微分方程的对称、强对称、遗传对称、李代数的结构等方面做出了重要的贡献.(www.xing528.com)
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