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矩阵特征值与特征向量计算方法分享

时间:2023-10-29 理论教育 版权反馈
【摘要】:设A是n阶矩阵,则A的特征值是方程|λE-A|=0的根,而x=0的非零解是A的对应特征值λ的特征向量.A的特征值与特征向量有以下性质:对应A的不同特征值的特征向量线性无关.A的特征值λ1,λ2,…

矩阵特征值与特征向量计算方法分享

An矩阵,则A的特征值是方程|λE-A|=0(En单位矩阵)的根,而(λE-Ax=0的非零解是A的对应特征值λ特征向量.

A的特征值与特征向量有以下性质:

(1)对应A的不同特征值的特征向量线性无关.

(2)A的特征值λ1λ2,…,λn之和为trA,之积为|A|.

(3)设λξ分别是A的特征值及其对应的特征向量,则fA)有特征值fλ)及其对应的特征向量ξ,其中fλ)是λ的多项式.

(4)当A可逆时,A的特征值全不为零.设λξ分别是A的特征值及其对应的特征向量,则A-1有特征值978-7-111-49735-6-Part03-313.jpg及其对应的特征向量ξA有特征值978-7-111-49735-6-Part03-314.jpg及其对应的特征向量ξ.

(5)设λξ分别是A的特征值及其对应的特征向量,则P-1AP有特征值λ及其对应的特征向量P-1ξ.

利用特征值与特征向量的性质,往往能快捷地计算矩阵式的特征值与特征向量.

例9.1 设3阶矩阵A满足|A-2E|=0,|A+2E|=0,|2A-3E|=0(E是3阶单位矩阵),求A行列式.

精解 由|A-2E|=0,即|2E-A|=0得2是A的特征值.

由|A+2E|=0,即|-2E-A|=0得-2是A的特征值.

由|2A-3E|=0,即978-7-111-49735-6-Part03-315.jpg978-7-111-49735-6-Part03-316.jpgA的特征值.

由此算得3阶矩阵A的3个特征值,所以

例9.2 已知二阶矩阵A及2维列向量x满足A2x+2Ax-3x=0,且xAx线性无关,求A的全部特征值与特征向量.

精解 由题设知A2x+2Ax-3x=(A+3E)(A-ExE是二阶单位矩阵)

=(-3E-A)(x-Ax

=(E-A)(-Ax-3x

=0

知,2阶矩阵A的特征值为λ=-3,1,并且由xAx线性无关知x-Ax≠0,所以对应λ=-3的特征向量为C1x-Ax);同理可知-Ax-3x≠0,所以对应λ=1的特征向量为C2(-Ax-3x),其中C1C2都是任意非零常数.

例9.3 设矩阵978-7-111-49735-6-Part03-318.jpg978-7-111-49735-6-Part03-319.jpgB=P-1AP,求B+2E的特征值与特征向量,其中AA的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵.

精解 由978-7-111-49735-6-Part03-320.jpgA的特征值为λ=7,1(二重).

设对应λ=7的特征向量为α1=(x1x2x3T,则α1满足

由于 978-7-111-49735-6-Part03-322.jpg

所以,α1=C1(1,1,1)T=(C1C1C1TC1是任意非零常数).

设对应λ=1的特征向量为α2=(y1y2y3),则由A是实对称矩阵知

α2·α1=0,即 y1+y2+y3=0,

所以,α2=C2(-1,1,0)T+C3(-1,0,1)T=(-C2-C3C2C3TC2C3是不全为零的任意常数).(www.xing528.com)

于是A的特征值为978-7-111-49735-6-Part03-323.jpg,对应的特征向量分别为α1α2.

由此可得B的特征值为μ=1,7(二重),对应的特征向量分别为

因此,B+2E的特征值ν=1+2=3,7+2=9(二重),对应的特征向量分别为

β1=C1(0,1,1)Tβ2=C2(1,-1,0)T+C3(-1,-1,1)T.

例9.4 设矩阵978-7-111-49735-6-Part03-326.jpg,其行列式|A|=-1,又伴随矩阵A有一个特征值λ,属于λ的特征向量α=(-1,-1,1)T,求abcλ的值.

精解 由题设可知,978-7-111-49735-6-Part03-327.jpg是A的特征值,其对应的特征向量为α,所以有978-7-111-49735-6-Part03-328.jpg(E是3阶单位矩阵),

978-7-111-49735-6-Part03-329.jpg

由此得到 978-7-111-49735-6-Part03-330.jpg

化简后得 978-7-111-49735-6-Part03-331.jpga=cb=-3,λ=1.

再由|A|=-1,即978-7-111-49735-6-Part03-332.jpg,得a=c=2.因此所求的a=2,b=-3,c=2,λ=1.

例9.5 设A是三阶实对称矩阵.

(1)当秩rA)=2,且978-7-111-49735-6-Part03-333.jpg时,求A的所有特征值与特征向量;

(2)当A的各行元素之和均为3,且向量α1=(-1,2,-1)Tα2=(0,-1,1)T线性方程组Ax=0的两个解时,求A的所有特征值与特征向量.

精解 (1)由题设得

所以A有特征值λ=-1,1,它们对应的所有特征向量分别为

C1α1=C1(1,0,-1)TC2α2=C2(1,0,1)T

其中,C1C2都是任意非零常数.

由于rA)=2,即A=0,所以A还有一个特征值为0,设它对应的特征向量为α3=(x1x2x3T,则由A是实对称矩阵知

978-7-111-49735-6-Part03-335.jpg978-7-111-49735-6-Part03-336.jpg

由此得到α3=C3(0,1,0)TC3是任意非零常数).

(2)由A的各行元素之和均为3知,978-7-111-49735-6-Part03-337.jpg,即A有特征值λ=3,其对应的特征

向量为ξ1=C1(1,1,1)TC1是任意非零常数).

α1α2Ax=0的两个解,知

1=0·α12=0·α2

A有特征值λ=0(二重,这是因为α1α2线性无关),且其对应的特征向量为

ξ2=C2α1+C3α2=(-C2,2C2-C3,-C2+C3)(其中C2C3是任意不全为零的常数).

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