二阶常系数线性微分方程求解

设二阶常系数线性微分方程

y″+py′+qy=f（x）（p，q是常数，f（x）是已知函数）， （∗）

它对应的齐次线性微分方程为

y″+py′+qy=0. （∗∗）

（∗∗）的通解Y可按它的特征方程r²+pr+q=0计算.

当f（x）是P_l（x）e^αx或e^αx[P_m（x）cosβx+Q_n（x）sinβx]（其中P_l（x），P_m（x），Q_n（x）分别是l，m，n次多项式）或它们的线性组合时，则可按有关公式算出式（∗）的一个特解y^∗.此时式（∗）的通解为

y=Y+y^∗.

图 C-5-5

例6.1 求微分方程y″+a²y=sinx的通解，其中a>0.

精解 所给的常系数线性微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程为

r²+a²=0， （1）

故有特征根r=-ia，ia.从而齐次线性微分方程的通解为

Y=C₁cosax+C₂sinax.

下面计算所给微分方程的特解.由于所给微分方程的右端sinx=e^0x[0·cos（1·x）+1·sin（1·x）]，所以应分以下两种情形计算所给微分方程的特解y^∗：

当a≠1时，0+1·i=i不是特征方程（1）的根，所以

y^∗=Acosx+Bsinx.

将它代入所给的微分方程得A=0，，所以此时

当a=1时，0+1·i=i是特征方程（1）的根，所以

y^∗=x（A₁cosx+B₁sinx）.

将它代入所给的微分方程得，B₁=0，所以此时

于是，当a≠1时，所给微分方程的通解为

当a=1时，所给微分方程的通解为

例6.2 设函数y=y（x）在（-∞，+∞）上具有二阶导数，且y′≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数，它满足微分方程

求满足y（0）=0，的解y=y（x）.

精解 所给微分方程不是常系数的，因此将y看做未知函数，x看做自变量，改换这个微分方程.

将它代入所给微分方程得

即

式（1）对应的齐次线性微分方程有通解(www.xing528.com)

Y=C₁e^x+C₂e^-x.

此外，式（1）有特解y∗=Acosx+Bsinx.将它代入式（1）得A=0，，所以因此式（1）的通解为

且

于是，由y（0）=0，得C₁=1，C₂=-1.因此满足y（0）=0，的微分方程的解为

例6.3 求微分方程的通解.

精解 所给微分方程是二阶常系数线性微分方程，但右端函数不是e^αxP_l（x）或e^αx[Q_m（x）cosβx+R_n（x）sinβx]（其中P_l（x），Q_m（x），R_n（x）分别是l，m，n次多项式）形式，所以它的特解y^∗不能用常规方法计算.因此用降阶法求解.

由于y″+y′-2y=（y″+2y′）-（y′+2y）=（y′+2y）′-（y′+2y），所以令u=y′+2y，则所给微分方程成为一阶线性微分方程

它的通解为

即 y′+2y=e^x[C₁-ln（1+e^-x）].

它的通解，即所给微分方程的通解为

其中，

（以上计算中的不定积分不必加任意常数）.

将式（2）代入式（1）得

例6.4 求满足下列方程的可微函数f（x）：

精解 为消去积分运算，所给方程两边对x求导得

即

两边对x求导得

f′（x）=-f（-x）， （2）

且 f′（-x）=-f（x）.

于是有 f″（x）=f′（-x）=-f（x），即f″（x）+f（x）=0. （3）

故f（x）满足二阶常系数齐次线性微分方程（3），它的通解为

f（x）=C₁cosx+C₂sinx，

且 f′（x）=-C₁sinx+C₂cosx.

将f（0）=1（由式（1）得到）和f′（0）=-1（由式（2）得到）代入以上两式得

C₁=1，C₂=-1，

所以，f（x）=cosx-sinx.