未定式极限计算：七种类型及解法

函数极限计算中，最主要的内容是未定式极限计算.

未定式极限共有以下七种类型：

，，0·∞，∞-∞，0⁰，1^∞，∞⁰，

但是最常考的是型和1^∞型.

1.1型未定式极限的计算方法

设limf（x）=limg（x）=0，则称为型未定式极限，它可按以下步骤计算：

（1）化简常用的有以下五种方法：

a.消去f（x）与g（x）的公因子.

b.分子或分母有理化.

c.当x→x₀（x₀≠0）或x→∞时分别作变量代换t=x-x₀或

d.由极限运算法则算出其中非未定式部分的极限.

e.对f（x）与g（x）作等价无穷小代替，常用等价无穷小有：x→0时，

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，e^x-1～x，（1+x）^μ-1～μx（μ≠0），

通过如上化简后，型未定式极限变得十分简单，往往可以用极限运算法直接算出.

（2）如果不易作如上所述的化简，则可考虑使用型洛必达法则或对f（x）或g（x）应用麦克劳林公式，特别当f（x）或g（x）是积分上限函数时，必须首先应用洛必达法则，以消去积分运算.常用函数的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式是：x→0时，

特别地

例1.1 计算下列极限：

精解 （1）所给极限是型未定式极限.由于x→0时，

所以

（2）所给极限是型未定式极限.

其中，，

（由于x→0时是无穷小，在点x=0的去心邻域内有界）.

将它们代入式（1）得

例1.2 求下列极限：

精解 （1）所给极限是型未定式极限.由于

所以，

（2）所给极限是型未定式极限.

例1.3 计算下列极限：

精解 （1）所给极限是型未定式极限.

（2）所给极限是型未定式极限.

其中，将式（2）代入式（1）得

1.2型未定式极限的计算方法

设limf（x）=limg（x）=∞，则称为型未定式极限，它有以下两种计算方法：

（1）利用或变量代换将所给的型未定式极限转换成型未定式极限，然后按型未定式极限计算方法计算.特别当未定式的极限过程是x→+∞时，往往利用（α是正数）可快捷获得计算结果.(https://www.xing528.com)

（2）如果比较容易计算，则可用型洛必达法则计算型未定式极限

例1.4 计算下列极限：

精解 （1）所给极限是型未定式极限.

（2）所给极限是型未定式极限.

1.30·∞型和∞-∞型未定式极限的计算方法

设limf（x）=0，limg（x）=∞，则称limf（x）g（x）为0·∞型未定式极限.

设limf（x）=∞，limg（x）=∞，则称lim[f（x）-g（x）]为∞-∞型未定式极限.

这两种未定式极限可以利用代数运算或变量代换转换成型或型未定式极限，然后按相关方法计算.

例1.5 求下列极限：

精解 （1）所给极限是∞-∞型未定式极限.

（2）所给极限是0·∞型未定式极限.

1.40⁰，1^∞及∞⁰型未定式极限的计算方法

设limf（x）=limg（x）=0，则称lim[f（x）]^g（x）为0⁰型未定式极限.

设limf（x）=1，limg（x）=∞，则称lim[f（x）]^g（x）为1^∞型未定式极限.

设limf（x）=∞，limg（x）=0，则称lim[f（x）]^g（x）为∞⁰型未定式极限.

这三种幂指函数型未定式极限都可按以下步骤计算：

（1）将幂指函数指数化，即[f（x）]^g（x）=e^{g（x）lnf（x）}，则

lim[f（x）]^g（x）=e^{limg（x）lnf（x）}；

（2）按0·∞型未定式极限计算方法计算limg（x）lnf（x），如果它为A，则

lim[f（x）]^g（x）=e^A.

例1.6 计算下列极限：

精解 （1）所给极限是0⁰型未定式极限.

其中

所以，

（2）所给极限是1∞型未定式极限.

，

其中，

所以，

（3）所给极限是∞⁰型未定式极限.

其中，

所以，