2006～2015突破全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题

（1）

分析 逐一判断各个选项中的反常积分的收敛性，直到得到收敛积分为止，如果前三个选项都不正确，则直接选（D）

精解 对于选项（A），由于

所以，发散.

对于选项（B），由于

所以发散.

对于选项（C），由于

所以发散.

因此本题选（D）.

附注 选项（D）确实是正确的，具体计算如下：

由于

所以，收敛.

（2）

分析 先写出f（x）的表达式，确定有无间断点.如果有间断点，再确定其是可去的，跳跃的或是无穷的.

精解 当x=0时，不存在，

当x≠0时，

所以，f（x）有间断点x=0.

由于，所以点x=0是可去间断点.

因此本题选（B）

附注 x≠0时的f（x）表达式也可用以下方法计算：

（3）

分析 f′（x）在点x=0处连续时，f′（0）存在，且由此即可确定α，β应满足的关系式.

精解 要使存在，必须有

α-1>0.

要使，即，必须有

α-β-1>0.

由此可知，当f′（x）在点x=0处连续，即时，α，β必须满足

，即α-β>1.

因此本题选（A）

附注 题解中使用了以下结论：对于正数α，β，

要使存在，或存在，必须α>0.

（4）

分析 从f″（x）的图像寻找f″（x）的零点与不存在的点入手.

精解 由于f（x）是连续函数，且从f″（x）的图像可知，f″（x）有两个零点，记为x₁，x₂，则x₁<0<x₂.此外，f″（0）不存在，所以曲线只有3个可能的拐点：（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），（0，f（0））.

在点x=x₁的两侧邻近，f″（x）不变号，所以（x₁，f（x₁））不是曲线y=f（x）的拐点.在点x=x₂与点x=0的两侧邻近，f″（x）都变号，所以（x₂，f（x₂）），（0，f（0））都是曲线y=f（x）的拐点，即曲线y=f（x）有两个拐点.

因此本题选（C）.

附注 设f（x）是连续函数，则曲线y=f（x）的拐点可按以下步骤寻找：

（1）计算f″（x）的零点与不存在点，设为x₁，x₂，…，x_n.

（2）逐一判断，在各个点x_i的两侧邻近，考察f″（x）是否变号.如果变号，则（x_i，f（x_i））是曲线y=f（x）的一个拐点；否则（x_i，f（x_i））不是拐点.

（5）

分析 由将所给方程改写成由此即可得到与

精解 由得将它代入得

所以

因此本题选（D）.

附注 本题也可以按如下方法计算

由于，所以所给方程两边分别对x，对y求偏导数得

将u=1，v=1，即，代入上式得

解此方程组得f_u′（1，1）=0，

（6）

分析 画出D的图像，即可得到在极坐标系中的表示式.

精解 D如图B-15-6的阴影部分所示，在极坐标系下

图 B-15-6

所以

因此本题选（B）.

附注 当直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分时，应注意dxdy=rdrdθ，而不是dxdy=drdθ

（7）

分析 Ax=b有无穷多解的充分必要条件是（其中）是Ax=b的增广矩阵），由此即可得到正确选项.

精解 对施行初等行变换：

由此可知，的充分必要条件是a为1或2，且d为1或2，即a∈Ω，d∈Ω.从而Ax=b有无穷多解的充分必要条件为a∈Ω，d∈Ω.

因此本题选择（D）.

附注 应记住非齐次线性方程组有解、无解的判断方法：

设A是m×n矩阵，b是m维列向量，记，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是；线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是；线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是r（A）>r（A）.

（8）

分析 由题设可知，Ae₁=2e₁，Ae₂=e₂，Ae₃=-e₃.由此即可得到在正交变换x=Qy下，f（x₁，x₂，x₃）的标准形.

精解 由题设知，

，即，

所以有Ae₁=2e₁，Ae₂=e₂，Ae₃=-e₃.从而

Ae₁=2e₁，A（-e₃）=-（-e₃），Ae₂=e₂，

即由此得到

从而，在正交变换x=Qy下，f（x₁，x₂，x₃）的标准形为2y²₁-y²₂+y²₃.

因此本题选（A）.

附注 本题也可按以下方法计算：

由题设知，

并且，所以由式（1）得

从而在正交变换x=Qy下，f（x₁，x₂，x₃）的标准形为2y²₁-y²₂+y²₃.

二、填空题

（9）

分析 先按算出，然后按算出，即可得到

精解 由得

所以

附注 本题的应按或计算，而是错误的.

（10）

分析 分n=1及n>1两种情形计算.

精解 由f′（x）=2x·2^x+x²·2^xln2得f′（0）=0.

当n>1时，由

得f^（n）（0）=n（n-1）（ln₂）^n-2.

附注 应先计算f′（0），然后利用公式

算出f^（n）（x）（n>1），即得到f^（n）（0）（n>1）.

（11）

分析 将φ（x）写成，算φ′（x），然后由φ（1）及φ′（1）的值即可得到f（1）.

精解 显然于是

令x=1得，所以

附注 要计算（其中，对于固定的x，f（t；x）是t的连续函数，u（x）可导）关于x的导数，应先将f（t；x）中的x移入积分上限（下限）或移到积分号外.

（12）

分析 先算出所给微分方程的通解，然后利用y（0）=3，y′（0）=0算出y（x）.

精解 所给微分方程的特征方程

λ²+λ-2=0

有两个根λ=-2，1，所以通解为

y（x）=c₁e^-2x+c₂e^x， （1）

且 y′（x）=-2c₁e^-2x+c₂e^x. （2）

由于y（x）在点x=0处取极值3，所以有y（0）=3，y′（0）=0.将它们代入式（1）与式（2）得

即c₁=1，c₂=2.

代入式（1）得y（x）=e^-2x+2e^x.

附注 顺便把题中的微分方程换成y″-2y′+y=0，其他条件不变，重新求解，具体如下：

由于y″-2y′+y=0的特征方程λ²-2λ+1=0有二重根λ=1，所以它的通解为

y（x）=（c₁+c₂x）e^x， （3）

且 y′（x）=（c₁+c₂+c₂x）e^x. （4）

将y（0）=3，y′（0）=0代入式（3）与式（4）得

即c₁=3，c₂=-3.

将它们代入式（3）得y（x）=3（1-x）e^x.

（13）

分析 对所给方程两边求全微分，并将x=y=0代入即可算得dz|_（0，0）.

精解 所给方程两边求全微分得

e^x+2y+3z（dx+2dy+3dz）+yzdx+xzdy+xydz=0，

即（1-xyz）（dx+2dy+3dz）+yzdx+xzdy+xydz=0.所以

[3（1-xyz）+xy]dz=（xyz-1）（dx+2dy）-yzdx-xzdy.

将x=y=0代入上式得

3dz|_（0，0）=-dx-2dy，即

附注 本题也可以通过计算，算出dz|_（0，0），具体如下：

所给方程两边对x求偏导数得(https://www.xing528.com)

，即

将x=y=0代入上式得

，即

所给方程两边对y求偏导数得

将x=y=0代入得

，即

于是

（14）

分析 算出B的所有特征值即可得到|B|.

精解 由于矩阵A有特征值为2，-2，1，所以矩阵B的所有特征值为

μ₁=2²-2+1=3，μ₂=（-2）²-（-2）+1=7，μ₃=1²-1+1=1.

从而，|B|=μ₁μ₂μ₃=3×7×1=21.

附注 设A是n阶矩阵，其有特征值λ及与λ对应的特征向量ξ；又设m次多项式f（x）=a₀x^m+a₁x^m-1+…+a_m-1x+a_m，则矩阵f（A）=a₀A^m+a₁A^m-1+…+a_m-1A+a_mE_n有特征值f（λ）及与f（λ）对应的特征向量ξ.记住这一结论.

三、解答题

（15）

分析 写出f（x）的带佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式，即可由f（x）～g（x）（x→0），算出a，b，k的值.

精解

所以，由f（x）～g（x）=kx³（x→0）得

即a=-1，，

附注 本题也可用洛必达法则计算，具体如下：

由此得到，即a=-1.

将a=-1代入式（1）得

由此可得，即

将代入式（2）得

，即

（16）分析 先算出V₁与V₂，然后令V₁=V₂即可算出A的值.

精解

于是，由V₁=V₂得所以由A>0得

附注 设D是由直线x=a，x=b（a<b）及曲线y=f₁（x），y=f₂（x）（0≤f₁（x）≤f₂（x），a≤x≤b）围成，则D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积

设D是由直线x=a，x=b（0<a<b）及曲线y=f₁（x），y=f₂（x）（0≤f₁（x）≤f₂（x），a≤x≤b）围成，则D绕y轴旋转一周而成的旋转体体积

（17）分析 先由题设算出f_x′（x，y），f_y′（x，y）及f（x，y），然后按二元函数极值计算方法算出f（x，y）的极值.

精解 对f″_xy（x，y）=2（y+1）e^x关于y积分得

f_x′（x，y）=（y+1）²e^x+φ（x）（φ（x）是待定函数）. （1）

将y=0代入式（1），并利用f_x′（x，0）=（x+1）e^x得φ（x）=xe^x.将它代入式（1）得

f_x′（x，y）=（y+1）²e^x+xe^x. （2）

对式（2）关于x积分得

f（x，y）=（y+1）²e^x+（x+1）e^x+ψ（y）（ψ（y）是待定函数）. （3）

将x=0代入式（3），并利用f（0，y）=y²+2y得ψ（y）=-2.将它代入式（3）得

f（x，y）=（y+1）²e^x+（x+1）e^x-2，

于是，f_y′（x，y）=2（y+1）e^x.

由即得唯一解x=0，y=-1.

由于

所以由Δ=f″_xx（0，-1）·f″_yy（0，-1）-f″_xy（0，-1）=2>0知f（0，-1）=-1是f（x，y）的极小值，但f（x，y）无极大值.

附注 当f′（x）=φ（x）时有f（x）=Φ（x）+c（其中Φ（x）是φ（x）的一个原函数，c是任意常数）；

当f_x′（x，y）=φ（x，y）时，有f（x，y）=Φ（x，y）+c（y）.（其中Φ（x，y）是y任意固定时φ（x，y）关于x的一个原函数，c（y）是y的任意函数）.

图 B-15-18

（18）分析 画出D的简图，按照对称性化简后计算.

精解 D的图形如图B-15-18的阴影部分所示.

由于D关于y轴对称，在对称点处x²的值彼此相等，但xy的值互为相反数，所以

附注 在二重积分是二元连续函数）的具体计算之前，应做好两件事：

（1）画出D的概图；

（2）根据D的对称性，对按以下公式化简：

设D有某种对称性，则

其中，D₁是D按其对称性划分成的两部分之一.

（19）分析 由f′（x）确定f（x）的单调区间，再由连续函数的零点定理，即可确定f（x）的零点个数.

精解 由知，f′（x）有唯一零点，且

当时，f′（x）<0，即f（x）在上单调递减，

当时，f′（x）>0，即f（x）在上单调递增.

于是，由

以及连续函数零点定理（推广形式）知f（x）在与上各有唯一的零点.

因此f（x）的零点个数为2.

附注 连续函数零点定理：

设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）f（b）<0，则f（x）在[a，b]上至少有一个零点.这里a=-∞，或b=+∞也成立（推广形式）.

设f（x）在[a，b]上连续且单调，则当f（a）f（b）<0时，f（x）在[a，b]上有唯一的零点.这里a=-∞，或b=+∞也成立（推广形式）.

（20）

分析 由题设列出关于物体在t时刻温度T（t）的微分方程，并求解该微分方程，即可得到使物体温度从30℃降到21℃所需的时间.

精解 由题设得

由式（1）得T（t）-20=ce^kt. （4）

将式（2）代入式（4）得c=100.于是式（4）成为

T（t）=20+100e^kt. （5）

将式（3）代入式（5）得将它代入式（5）得

于是，当T（t）=21时，由即物体从30℃降到21℃所需的时间为60-30=30min.

附注 由于微分方程的通解中含有两个未知常数k与c，故先应利用T（0）=120，T（30）=30确定这两个常数，从而确定T（t）.

（21）

分析 先算出x₀，然后证明x₀<b及x₀>a.

精解 曲线y=f（x）在点（b，f（b））处的切线方程为

y-f（b）=f′（b）（x-b），

于是，它与x轴的交点横坐标

由f′（x）>0及f（a）=0知f（b）>f（a）=0，从而因此x₀<b.

下面证明：x₀>a.

由于f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在ξ∈（a，b），使得

（b-a）f′（ξ）=f（b）-f（a）=f（b）. （1）

于是由f″（x）>0知f′（b）>f′（ξ），所以由式（1）得

（b-a）f′（b）>f（b），从而有

附注 实际上x₀>a可从曲线y=f（x）的凹凸性直接得到.

由于f″（x）>0，所以曲线y=f（x）在[a，b]上是凹的，因此曲线y=f（x）在点（b，f（b））的切线必位于该曲线的下方，从而切线与x轴交点必位于曲线与x轴交点的右侧，即x₀>a.

（22）

分析 （Ⅰ）由A³=O得|A|=0.由此可得a的值.

（Ⅱ）所给的矩阵方程可以改写成

（E-A）X（E-A²）=E.

由此可以算出X.

精解 （Ⅰ）由A³=O得|A³|=0，所以|A|=0. （1）

另一方面

由式（1），式（2）得a=0.

（Ⅱ）由所给的矩阵方程得

X（E-A²）-AX（E-A²）=E，即（E-A）X（E-A²）=E. （3）

由此可知，E-A，E-A²都可逆.

将a=0代入A得，所以，且

于是，由式（3）得

附注 对于矩阵方程AXB=C（其中，A，B，C都是n阶已知矩阵），可按以下方法求解：

（1）如果A，B都是可逆矩阵，则X=A^-1CB^-1.

（2）如果A，B中只有一个可逆，例如A可逆，则XB=A^-1C，然后将X=（x_ij），B=（b_ij），代入转化成线性方程组算出x_ij（i，j=1，2，…，n），即得X.

（3）如果A，B都不可逆，则将X=（x_ij），A=（a_ij），B=（b_ij），C=（c_ij）代入AXB=C转化成线性方程组，算出x_ij（i，j=1，2，…，n），即得X.

（23）

分析 （Ⅰ）利用A～B及相似矩阵性质算出a，b之值.

（Ⅱ）将（Ⅰ）算出的a值代入A，将A相似对角化，即可得到可逆矩阵P.

精解 （Ⅰ）由A～B知，

解此方程组得a=4，b=5.

（Ⅱ）将a=4代入A得由于

所以，A有特征值λ=5，1（二重）.

设A的对应λ=5的特征向量为α=（a₁，a₂，a₃）^T，则α满足

它有基础解系（-1，-1，1）^T，故可取α=（-1，-1，1）^T.

设A的对应λ=1的特征向量为β=（b₁，b₂，b₃）^T，则β满足

它有基础解系（2，1，0）^T，（-3，0，1）^T，故可取β=β₁=（2，1，0）^T，β=β₂=（-3，0，1）^T.

于是，即为所求的可逆矩阵，它使得

附注 设A，B都是n阶矩阵，则

（1）当A～B时，A，B有相同的特征多项式，特别有

trA=trB，|A|=|B|.

（2）当A～B时，如果A可逆，则B可逆，且A^-1～B^-1，A^∗～B^∗.

（3）设A～B，即存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则当A有特征值λ及其对应的特征向量ξ时，B有特征值λ及其对应的特征向量P^-1ξ.