寻觅梅森素数：数学界重大发现

数论中有一些猜想，犹如最坚硬的磐石，它能轻而易举地挫去人的智慧的锋芒，耗尽人的才华和心血，甚至生命。荷兰数学家丹齐格说：“数论是数学中所有部门最难的一门。不错，它的问题陈述出来，实在简单得连三尺孩童也能明白所讨论的是什么。但是，它所使用的方法却是那样独特，必须是非凡的技巧和极大的敏才，才能找到恰当的入门之处。”“梅森素数猜想”就是数论中的难题之一。

梅森素数的来历

法国修道士梅森是17世纪欧洲数学界一位独特的中心人物，他学识广博，才华横溢，在法国科学界很有影响。许多科学家都乐于将成果寄给梅森，然后借他广泛的交往和热情诚挚的为人，再转告给更多的人，梅森起到了科学交流的桥梁作用，被誉为“有定期数学杂志之前的数学交换站”。

梅森和巴黎数学家费尔马、罗伯瓦、迈多治、笛卡儿等一些科学界名流每周一次在梅森住所聚会，讨论数学、物理学等问题，他们这个民间学术组织被誉为“梅森学院”。

1666年，“梅森学院”逐渐由民间学术组织变为半官半民的科学组织，并改一周一次学术讨论为一周二次。这就是法国科学院的前身。

在数学研究中，人们很早就发现有一类数字，除了1和本身以外，再没有别的因数，数学家称这些自然数为素数，否则就叫做合数。1640年6月，费尔马在对素数进行一番研究后，给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质，我自信它们将成为今后解决素数问题的基础。”这封信讨论了形如2n－1的素数。

数2n－1最早出现在欧几里得《几何原本》中。梅森以此作为基础，花四年时间研究、检验了直至2257－1的全部数，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中写道：“总结前人的工作和我个人的研究，可以得到结论：在n≤257的数中，除了当n＝2，3，5，7，13，17，19时，2n－1是素数外，并猜想n＝31，67，127和257时，2n－1也是素数。而n＜257的其他数值，2n－1都是合数。”

梅森提出的大胆猜想，可以大大缩短寻觅最大素数的验证范围。因此，人们便将形如2n－1(n是素数)的素数命名为“梅森素数”或“梅森素数猜想”，并且用他的名字的头一个字母记梅森素数为Mn＝2n－1。

梅森素数的验证工作是十分艰辛的。n＝31，67，127和257这几个数非常大，其中最小的231－1＝2147483647也具有10位数。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”人们多么想知道梅森先生猜想的根据和方法啊，然而年迈力衰的梅森来不及留下记载，四年之后就去世了。人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。

玉有瑕疵也斑斓

100多年来，复杂的计算工作及验证几无成果。1747年，正当人们悲叹“后无胜者”之时，瑞士数学家欧拉证明了费尔马给梅森信中的三个非常重要的性质。可后来欧拉双目失明，他只好用心算研究梅森素数了。他苦苦地心算了近20年，1766年的一天，他兴奋地告诉瑞士数学家丹尼尔说：“我已经严格证明了231－1确是一个素数。”这一成果实在了不起，要是把他心算的算式全部列出来，该用多少纸啊!但欧拉的成功也暗示人们，在素数海洋之中，靠手工笔算去推演，将越来越难。

欧拉艰辛、复杂的心算方法，难以突破找到更大的素数了，只有另辟蹊径。

1642年，19岁的法国数学家帕斯卡发明了第一台机械式计算机，此后，更快的机械计算机不断涌现。这对数学家的运算给予极大的方便。

欧拉之后，又是一个世纪过去了，1876年，法国数学家洛克斯等人寻找到了一个推证梅森素数的公式，把它同机械式计算机结合起来，陆续验证出：M61、M89、M107和M127都是素数，其中M61、M89、M107是梅森漏掉的三个素数。

自从发现漏掉的梅森素数以后，人们对梅森猜想的纯洁性动摇了。有人对过去232年里知道的14个梅森素数的真伪再次进行验算。

1903年10月，在纽约市一次数学学术会上，美国数学家科尔做了一次不讲话的学术报告。

他默默走上讲台，在黑板上先算出M67＝267－1，接着他又算出193707721×761838257287，两个结果竟然相同。他没有说一句话回到自己的座位上，会场顿时响起暴风雨般的掌声，因为，他证明了M67是一个合数，而否定梅森说的M67是素数的猜想，更重要的是，他的证明解放了数学家的思想，掀起了研究梅森素数的热潮，消除了围绕人们200多年的疑团。当人们问科尔：“你用了多少时间?”他轻轻地说：“三年内的全部星期天。”(www.xing528.com)

科尔发现了梅森的失误，剩下来的工作就是验证M257是不是素数，可这个数有78位，想用笔算重演科尔成功“喜剧”似乎不大可能了。

1930年，美国数学家雷梅教授修改了洛克斯的方法，给出了一个新的梅森素数判别法则，即“洛克斯—雷梅”定理。这个定理修改了洛克斯狭窄的检验的条件，给出了一个效率快、更广泛条件的出色定理，虽然加大了运算量，但却比以前的方法完整、有效。同时，雷梅用这种新的理论、新的思想方法还修正了古老的筛法，终于在1931年成为最后一位笔算的成功者。他得出了M257不是素数，而是一个合数。他的这项工作后来在1952年，经美国SWAC计算机进行检验，结论是正确的。

至此，经过287年的时光，数学家们总共核实、验证，正确的梅森素数只有12个。

超越梅森猜想

1946年第一台电子计算机诞生，带来计算技术的突破。数学家与计算机专家开始从核实验算梅森素数阶段转向寻找新的、更大的素数的领地了。

1952年，数学家们利用美国加利福尼亚大学的计算机SW AC对127＜n＜2309之间的Mn进行验证，很快发现五个新的梅森素数：M521，M607，M1279，M2203和M2281。

1957年黎塞尔发现M3217(有969位)是素数，若将其所有数字写出来，可以布满一张大报纸。

然而寻找素数的计算太复杂了，随着数字的增大，计算量成若干倍的增加，庞大的天文数字使得计算机也相当费时费力。至1979年止，一共找到梅森素数才26个，多么可怜!其中M2·1是一个有6533位的数，它是1978年10月由美国加利福尼亚大学的两个大学生尼克尔和诺尔利用电子计算机验证得到的。

数学家利用各种最新计算机产品，不停息不疲倦地在巨大的天文数字运算中，继续寻觅梅森素数。

1983年10月到1985年的两年里，数学家史诺云斯基用最快的计算机分别求得三个梅森素数：M86243，M132049和M216091。

1991年数学家又发现史诺云斯基在1983到1985年漏掉的梅森素数M110503。

1992年3月，英国数学家宣布，在一台巨型计算机CRAY－2上又发现一个梅森素数M756839，它有227832位数字；1994年，人们又发现第32个梅森素数M859433，它有258716位。它是当时宣布发现的最大一个素数。若把这些数字印成书，可有200多页。

1998年元月27日，美国加州大学19岁大学生罗兰·克拉克森用电脑发现第37个梅森素数是23021377－1，它有909526位数。

数学家们拼命地去利用数学新方法与计算机去运算寻找最大的梅森素数的目的何在呢?梅森素数就当前来说，看不出它有多大的实用价值，但是，从长远来讲，理论上的突破，必会带来实践的腾飞。一方面，解决梅森素数猜想的过程中，可能诞生新学科、新数学思想方法；另一方面，验证梅森素数的工作，标志着一个国家计算机的发展及其功能的先进性，归根结底，攻克世界难题，是人类智慧的较量。

梅森素数是否有无穷多个?数学家与计算机专家正在疾蹄奋进不息地工作，去发现新的更大梅森素数，去攻克这一古老难题。