射影几何：没有度量的几何学

自然界中的物体都是立体的，而画家作画、建筑师绘图都是使用画布、墙壁、纸张这样的平面，如果要让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，就得探讨人的视觉规律。为此，数学家和艺术家们从不同角度研究投影的性质。达·芬奇首先提出了聚焦透视法，确切、形象地阐述了透视原理的基本思想。他强调，画画要画一只眼睛看到的景物，从景物的每一个能看到的点发出的光线进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物体的影像。假如在人们眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从景物的各点进入眼睛的每一条光线，穿过这张薄膜时形成点，所有这些点的集合就形成了景物在薄膜上的像。整个这一过程就叫透视，几何学上称为中心射影。射影几何就是研究图形在中心射影下位置关系的学科。这门新学科广泛应用于航空摄影、绘画测量等方面。

它的发现是许多数学家相继努力的结果。

笛沙格的新思想

1639年，自学成才的法国建筑师笛沙格提出一个新观点：由中心射影可以推出，两条平行线应在无穷远处相交。他称平行线的交点为理想点，并把添进了理想点的欧氏空间(直线或平面)叫做射影空间。笛沙格认为，在射影空间里，无论是抛物线、椭圆，还是双曲线都能由最简单的圆锥曲线——圆经中心射影得到，因此，只须从圆出发便能了解所有圆锥曲线的性质。这种研究圆锥曲线的独特而巧妙的方法，是笛沙格的创新。他发现的定理：“如果两个三角形对应边的交点共线，那么这两个三角形的对应顶点的连线共点”，被认为是射影几何中最漂亮的定理。该定理以他的名字命名。

笛沙格的创造性工作在射影几何发展过程中具有决定性意义，但由于同时代人热衷于笛卡儿的解析几何，加之他在著作中使用了些古怪术语，所以当时没人能接受他的新思想，他的著作很快全部流失。200多年之后，法国几何史专家沙尔偶然得到一本手抄本，才使其功绩得以肯定。

帕斯卡的神秘六边形

差不多与笛沙格同时，对射影几何作出重要贡献的是数学天才的帕斯卡。1623年，他出生在法国克勒芒，小时候虽体弱多病，却很早就显出非凡的数学才能。父亲不让小帕斯卡过早接触数学，怕过度紧张的思考损害他的健康，将所有的数学书籍都藏起来。

严格的禁令反而激发了小帕斯卡的好奇心，12岁时他问父亲：“几何学究竟是什么?”

父亲回答说：“几何学是一门提供正确作图，并找出各图形之间存在的关系的学科。”说完马上强调以后再不能谈论数学问题了。

然而帕斯卡听了父亲的谈话后，激动的心情不能自已。他自立定义，把欧氏几何中的线段叫“棒棒”，圆叫“圈圈”，整日迷恋着棒棒和圈圈组成的图形。当父亲知道他自行证明，独立地发现了三角形的内角和定理时，不禁惊喜交加，叹服他的几何才能，从此不再阻止他学习数学了，还送给他一部《几何原本》。

从14岁起，帕斯卡经常随父亲参加巴黎一群数学家的每周聚会(法国科学院就是从这发展起来的)，耳濡目染，使帕斯卡在科学之路上迅速成长。1639年，当笛沙格构造的射影空间遭非议，受排斥时，只有帕斯卡为其新思想所吸引。他用笛沙格的射影观点研究圆锥曲线，得到许多令人欣喜的新发现。(www.xing528.com)

1640年，16岁的帕斯卡发表了《试论圆锥曲线》的8页论文，文中包含了三条定义，三个引理和一些定理。其中一个定理被认为是射影几何上最重要的定理：“圆锥曲线的内接六边形，延长相对的边得到三个交点，这三点必共线”。该定理命名为帕斯卡定理，定理中的六边形叫做“神秘六边形”。据说帕斯卡从这个定理导出了400多条推论。帕斯卡定理向人们展示了射影几何深刻、优美的直观魅力，其宏伟壮观的气势令人惊叹!

作为笛卡儿的学生，在解析法风靡一时，同时代人都不愿意接受射影观点的潮流下，帕斯卡独树一帜，用纯几何的方法发现了神秘六边形，取得了自古希腊阿波罗尼斯以来研究圆锥曲线的最佳成果，为射影几何大厦奠定了基石。帕斯卡的精神难能可贵。据说笛卡儿读了他的著作后大为叹服，竟不相信是出自自己的学生，一位16岁少年之手。

一度沉沦又复兴

受解析几何与微积分巨浪的冲击，射影几何未及发展就被压了下去，衰落了200多年。直到19世纪初，一批几何学家为复兴射影几何大声疾呼，不断推出令人瞩目的研究成果，才使之发展完善、日趋成熟。

为复兴射影几何作出杰出贡献的第一人是法国数学家彭色列。1812年他在参加拿破仑的俄罗斯之战时不幸被俘入狱。他在狱中凭记忆构思了巨著《论图形的射影性质》，此书于1822年出版，彭色列在他的著作中分离出了几何图形的一类射影性质，找到了考察射影空间内部结构的两个特殊工具——对偶原理和连续原理。这部著作是几何学上的一个里程碑，给射影几何的研究以巨大的动力，开创了射影几何史上的黄金时代。

史坦纳是从一个识字不多的瑞士牧羊儿成长起来的世界知名的几何学者。他最先接受彭色列的观点，在其主要著作《论几何映射的系统分析》中，阐述了运用射影概念从简单图形出发构成复杂图形的原理，同时注重图形分类和对偶命题，从而系统地发展了射影几何。

德国的几何学家斯陶特对射影几何的基本概念“交比”作了深入的研究。他在《位置几何学》里提出了称之为“投”的作图方法，第一个给出交比不依赖于长度的定义，从而建立了射影几何的基本工具，使这门几何分支从基础到上层建筑都体现出“没有度量”的纯射影特点。斯陶特的功绩使射影几何得以更迅速的发展。

奇妙无比的莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯发现的射影平面的模型，它使射影空间形象生动不再抽象。莫比乌斯是用代数法研究射影几何的代表。他在著作《重心计算》中，从一个固定三角形出发，用重心概念引出了平面上点的齐次坐标的定义，建立起射影坐标系，为用代数方法研究射影几何提供了可能。

以彭色列为首的一大批几何学家的共同努力，迎来了19世纪射影几何蓬勃发展的春天。新概念、新思想层出不穷，新发现、新成果激动人心。射影几何以其直观优美、宏伟深刻的新姿独领风骚，一朵颓萎了200多年的蓓蕾终于开出了艳丽之花!