探秘立体截面原理：数学界的大发现

知道球体半径，那么由上述公式就很容易算出球体积来。这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德利用力学方法和穷竭法推导出来的。中国古人用自己独特的方法也得到这一公式，虽然晚于阿基米德，但在推导球体体积公式的过程中，却无意间发现了立体几何中的一个重要结论——立体截面原理。

刘徽的贡献

《九章算术》是中国古代最早的著名数学专著之一，它是由许多数学家合作编写，并经过几代人的修订改编，最后完成于西汉末年，距今已有2000多年了。书中计算球体积的公式以现在的表达方式是V＝R3，其圆周率取的是3．375。按照这个公式来计算球体体积，误差实在太大了。过了200多年，即公元263年前后，刘徽在给该书作注解时，发现这个公式存在问题。

刘徽是中国古代最优秀的数学家之一，他生活在三国时期的魏国，有关他的生平事迹和生卒年代等情况，现代人们知道的很少。他在反复研读《九章算术》的过程中，发现了很多不尽如人意之处，便决定对该书作一个详细的注解。他获得的许多重要的数学成就都包含在这些注解当中。此外，他还研究过天文、历法，从事过度量衡的考校工作。

当刘徽发现了球体积公式存在着过大的误差后，便决心推算出精确的公式来。他先是用两个半径都等于R的圆柱面，让其轴线互相垂直并相交，于是，这两个圆柱面的公共部分正好把半径为R的球体包含在内，这个公共部分的外形就像一个既圆又方的盒子(如右图)，刘徽给它起了一个名字，叫做“牟合方盖”。两个对接的烟筒在拐弯处的形状就像牟合方盖的一个角。然后刘徽想，若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方形；无论截面高低如何，其形状只不过是大小有所不同罢了。

假定圆半径是1，则圆面积就等于π，而正方形面积就等于4，即任意正方形与其内切圆的面积之比都是4：π。既然牟合方盖与其内切球体的任意截面积之比都是4∶π，那么两者的体积之比也应该是4∶π，即球体积＝×牟合方盖的体积。

刘徽在这里用到了一个重要的截面原理：如果两个等高的立体，用平行于底面的平面截得的截面积之比为一定值，则这两个立体的体积之比也等于该定值。这个原理现在称为“刘徽原理”。因此，他把计算球体积的问题转化为计算牟合方盖体积的问题了。换句话说，只要求出牟合方盖的体积，就可得到球体积公式了。

尽管如此，可计算牟合方盖的体积也并非易事。刘徽绞尽脑汁也没有达到预期目的，他最后只好把上述结果详述在注解里，并希望后人看到这个问题，接着来完成他未竟的事业。

祖暅原理的提出

又过了200多年，我国南北朝时期的伟大科学家祖冲之的儿子祖暅接着研究这个问题。虽然祖暅仍循着刘徽的思路，设法解决牟合方盖的体积问题，但其方法独特而新颖，从而巧妙地求出球体体积。(www.xing528.com)

祖暅作了一个边长为2R且外切于牟合方盖的正方体，该正方体的体积是8R3，他想，只要算出正方体和牟合方盖的体积之差就可获得牟合方盖的体积，从而获得球体积。他以牟合方盖的为例来说明体积差是如何求出来的。

他首先做一个倒立的正四棱锥，其底边长与高均为R，体积差的与四棱锥锥高相等，而且与底面平行的任意平面截这两个立体，所得截面的面积也相等(两个阴影部分)。设截面的高为h，则四棱锥的截面积为h2，体积差的的截面积为：

推算到这里，祖暅说了这样一句话：“幂势既同，则积不容异”。意思是说，既然两个立体的截面积处处相同，则其体积不可能相异。

因此，牟合方盖体积的，牟合方盖的体积，再根据刘徽已导出的结论，祖暅终于获得了正确的计算球体体积的公式：。当然这是以现代数学的形式来表达的，中国古代的表述要比这复杂得多。

祖暅上面的那段原话，就是现在中学课本里所说的“祖暅原理”：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。这条原理实际上是刘徽原理的一个特例，即当刘徽原理中的定值为1的时候，就得到了祖暅原理的结论。这个原理就是立体几何中的截面原理，虽然在中国它是推导球体积公式的一个副产品，但是它的结论比球体积公式更为重要。

立体截面原理在国外

虽然阿基米德最早推出球体积公式，但由于他采用的方法与中国古人的方法有所不同，因此他并没有发现立体的截面原理。

立体的截面原理在国外被称作“卡瓦列里原理”，因为该原理在欧洲最早是由意大利数学家卡瓦列里发现的。卡瓦列里是著名科学家伽利略的学生，他在老师的影响下考察一些复杂图形的面积和体积问题。他认为，面积就像布一样是由一条一条的线织成的，体积就像书一样是由一张一张的纸组成的。他在1635年出版的《连续不可分几何》中给出了立体截面原理，其内容与“刘徽原理”完全一样，但比刘徽要晚1300多年。

立体截面原理揭示了立体体积之间的一个十分重要的关系，用它不仅可以巧妙的导出球的体积公式，而且在一般意义上，它是解决立体体积问题的基础，像高中数学中，有关棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台等几何体的体积公式，都是建立在立体截面原理这一基本规律之上的。而球的体积公式给人们带来的方便，更是不言而喻。只要是符合球体形状，大到星球，小到原子，都可以运用公式很容易地计算出它的体积，这在数学以外的工业、农业、天文等各个行业及科学技术中运用也是屡见不鲜。