微积分：人类精神的卓越胜利

微积分与解析几何是17世纪世界数学史上两个最重要的发现。这个时期欧洲的社会经济迅猛发展，资本主义工业的大型生产使得力学在科学中的地位越来越重要。于是，一系列的力学问题以及与此有关的问题便呈现在科学家们的面前。

微积分的产生

以力学的需要为中心，当时提出了大量的数学问题，比如，由距离和时间的函数关系，如何求物体在任意时刻的速度和加速度，由加速度和时间的函数关系如何求物体的速度和距离，怎样求曲线上任一点处的切线，或确定运动物体在运行轨道上任一点处的运动方向，求函数的最大值和最小值，寻找求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积以及物体的重心的一般方法等等。17世纪的微积分正是围绕着这些问题的解决逐步创立起来的。

微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。

从数学自身的发展历史来说，积分的概念和方法由来已久。在古代的穷竭法中已略见端倪，古希腊的大科学家阿基米德，曾用与积分类似的方法，计算过曲线围成的面积和曲面围成的体积。微分的概念和方法在欧洲也已经历了一段酝酿的过程。从17世纪起，欧洲一些天文学家、物理学家和数学家都曾零散地涉猎到微分问题。然而，把微分和积分两种运算的互逆关系明确揭示出来，并把微积分作为一门学科而完整地建立起来的人是牛顿和莱布尼兹。这两位大科学家分别在研究这同一个问题，尽管二人研究的角度和方法有所不同，但殊途同归，最后都被世人尊崇为微积分学的创始人。

牛顿的工作

1642年12月25日，17世纪最伟大的科学家伊萨克·牛顿诞生于英国东部的一个小村庄，父亲是一个普通的农民。在牛顿出生之前两个月，父亲已因病去世了。

童年的牛顿是由外祖母和舅舅照看的，从小就养成了孤僻和腼腆的性格。

由于家境贫寒，他上中学期间曾辍学几年，直到19岁才毕业。1661年，经中学校长的推荐，牛顿以减费生的身份考进英国著名的剑桥大学。1669年，年仅27岁的牛顿被聘为剑桥大学的教授，主讲数学、光学和力学。

牛顿沉迷于科学研究当中，他夜以继日地工作已到了废寝忘食的地步。他一生为近代自然科学奠定了四个重要的基础：他做的光谱分析实验，为近代光学奠定了基础；发现的万有引力定律，为近代天文学奠定了基础；发现的力学三大定律，奠定了经典力学的基础；他创建的微积分，为近代数学奠定了基础。像他这样在不同的自然学科里都取得辉煌成就的科学家，在人类历史上是极少见的。

虽然在牛顿之前，已有不少数学家从事过微积分的奠基性工作，但作为无穷小量分析所涉及的观点和方法，以及由此组成的一门以独特的算法为特征的新学科的发现，这仍归功于牛顿。正如美国数学史家克莱因所说：“数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出的一点一滴贡献的许多工作之上的，需要一个人来走那最高最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，并且足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是伊萨克·牛顿”。

1666年，即牛顿担任数学教授之前，他已经开始关于微积分的研究，他受了沃利斯的《无穷算术》的启发，第一次把代数学扩展到分析学。牛顿起初的研究是静态的无穷小量方法，像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年，他完成了第一篇有关微积分的论文。当时在他的朋友中间散发传阅，直到42年后的1711年才正式出版。牛顿在论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法，而且证明了面积可由求变化率的逆过程得到。这一事实是牛顿创立微积分的标志。接着，牛顿研究变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此，他把变量叫作流量，把变量的变化率叫做流数。牛顿第二阶段的工作，主要体现在成书于1671年的一本论著中。书中叙述了微积分基本定理，并对微积分思想作了广泛而更明确的说明。但这篇论著直到1736年才公开发表。牛顿微积分研究的第三阶段用的是最初比和最后比的方法，否定了初期的观点，不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成，而认为它是由几何元素经过连续运动生成的，不再认为流数是两个实无限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最后比，这就从原先的实无限小量观点进到量的无限分割过程即潜无限观点上去。这是他对初期微积分研究的修正和完善。

莱布尼兹的工作(www.xing528.com)

无独有偶，就在牛顿完成了微积分论文却又未公开出版之际，德国科学家莱布尼兹也在做着与牛顿相同的工作。

莱布尼兹1646年生于德国东部重镇莱比锡的一个知识分子家庭中。父亲是莱比锡大学哲学教授，他去世时，莱布尼兹才刚满6岁，因此，年幼的莱布尼兹是在母亲的抚育下成长的。由于他勤奋好学，15岁便考进了莱比锡大学法学系，20岁已获得了法学博士学位。毕业后，他在德国的外交界任职，这使他有机会利用出访英、法等国的条件，与欧洲科学界名流广泛接触。在这个过程中，他开始对当时数学方面的重大课题产生浓厚的兴趣，特别是有关微积分的先驱性工作更是令他心驰神往。

莱布尼兹从法国数学家帕斯卡的一篇论文中，敏锐地意识到，不规则面积的求和与变化率的求差运算是可逆的。这一认识正是发明微积分的关键。从1673年到1678年，莱布尼兹已完成了创建微积分学的主要工作，于1684年开始发表有关微积分方面的学术论文。

在完成微积分的问题上，莱布尼兹与牛顿的功绩相当，他们都把微积分作为一种能应用于一般函数的普遍方法。所不同的是，牛顿更多关心的是创立微积分的体系和基本方法，而莱布尼兹似乎更关心运算公式的建立与推广。莱布尼兹的微积分思想虽然不如牛顿那样有条理，但却富于启发性。他对微积分符号的关心是超过牛顿的，现在还有不少正在使用的微积分符号都是沿用莱布尼兹的。这些符号的科学作用对微积分的进一步发展是至关重要的。

优先权的争议

1684年，莱布尼兹的第一篇微积分论文刚一发表，便在英国境内掀起了一场轩然大波。因为英国有不少数学家都知道牛顿已完成了微积分的创建工作，而莱布尼兹却抢先发表了这方面的成果。他们认为，1673年莱布尼兹曾访问伦敦，并和一些知道牛顿工作的人有接触并保持通信，因此，他有可能剽窃了牛顿的成果。于是他们向莱布尼兹发起了猛烈的攻击。

欧洲其他国家一些了解莱布尼兹工作细节的数学家们站出来，与英国数学家针锋相对，坚决维护莱布尼兹的利益。这场有关微积分优先发明权的争议持续了几十年，以至于使英国数学家与欧洲大陆数学界的思想交流隔绝了半个多世纪。

然而，对于微积分的创立者本人而言，他们对这场争议并不关心，也不愿卷入其中，因为他们关心的是科学本身，而不是谁先谁后的问题。

这场争议并未影响到两位科学家之间的关系。莱布尼兹曾对牛顿的数学工作备加赞赏。他说：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。”牛顿也曾谦虚地说：“如果说我比别人看得远些，那只是由于我站在巨人的肩上!”他还做过这样的比喻：“我不知道世间把我看成什么样的人，但是，对我自己来说，就像一个在海边玩耍的孩子。有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，在我面前是完全没有被发现的真理的大海洋。”

在两位微积分发现者去世后很久，国际科学组织经过细致调查后证明，虽然牛顿大部分的工作是在莱布尼兹之前做的，但莱布尼兹主要的微积分思想是独立产生的。于是，牛顿和莱布尼兹都被公认为是微积分学说的创始人。一场旷日持久的争议也随之消散。

微积分又叫无穷小分析，它的产生革新了数学的观念、思想和方法，是人类思维的伟大成果。用它可以解决近代天文学、近代力学中许许多多的问题。由于极为广泛的应用，微积分被认为是高等数学的基础与核心。革命导师恩格斯高度评价说：“在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了，如果在某个地方我们有人类精神的纯粹的和专有的功绩，那就正是在这里。”