数学界的大发现：非欧几何的问世

在数学发展史上，被人们推崇为旷世杰作的《几何原本》，却有一个困扰人们两千多年的“黑色污点”——第五公设。后人称之“一个伟大的错误”。人们为了寻求对它的证明，引起了几何发展史上一场意义深远的思想变革，由此发现了非欧几何，开辟了科学发展的新天地。

引无数英雄竞折腰

欧几里得《几何原本》中列有5条公理和5条公设，被认为是不证自明的真理，用来作为全书逻辑推理的基石。其中第五公设是：“若一条直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线不断延长必相交于该侧一点。”由于不可能把两直线向两端无限延长然后验证它们是否相交，所以当时数学家觉得第五公设不像前四个公设那样显然，倒更像个定理，因此对它作为公设的资格产生了怀疑，总想找到对它的证明以去掉“污点”，弥补欧氏几何体系的惟一缺陷。

从公元前3世纪到19世纪的两千多年期间，人们不断尝试着用各种方法证明第五公设，有案可查的就有2000人之多。许多数学家为此呕心沥血，耗尽毕生精力，然而春去秋至，岁月流逝，却劳而无获。甚至像托勒密、普罗克鲁斯、瓦里斯、达朗贝尔、拉格朗日、勒让德等大数学家，也只能面对无数次的失败而“望题兴叹”，以致达朗贝尔称其为“几何学中的家丑”。

十几个世纪过去了!人们开始怀疑：第五公设是否可证?可否用相反命题代替?

对此，意大利数学家萨开里和德国数学家兰伯特的研究最早触及问题的实质。

萨开里试图用反证法证明第五公设。他采用相反的断言，然后进行推理以期引出矛盾。在展开推论的过程中，他得到了一些与直观表象极其矛盾、使人不可思议的结果。求胜心切的萨开里未及深思，以此认为得到了第五公设的证明，却没意识到他犯了几何学之大忌：把直观的合理性与逻辑的必然性混为一谈。萨开里的贡献在于开创了富于启发性的反证法，并因此被称为非欧几何的先驱。

兰伯特在萨开里间接证法的基础上又跨进了一步。在得到类似的结果后，没有像萨开里那样声称证明了第五公设，而是大胆地对第五公设的可证性提出了怀疑，认为这些与直观表象不相符合但在逻辑推理上没有矛盾的结论可能是一种新几何。

兰伯特的观点是先进的，但仅是粗糙、初步的想法。他走到了非欧几何的门前，却差一步未迈进门槛。

揭开几何革命的序幕

第一个给出这个问题正确提法的是高斯。他从1792年到1813年，发展了由第五公设相反的断言推导出来的一系列定理。到了1816年，他已得到了一种新几何体系的雏形。但是高斯谨慎地隐藏了自己的研究，惟恐这种新体系在直观上的“荒诞无稽”遭人非议，“引来愚人的喊叫”。

高斯的大学同学，匈牙利数学家法什卡·鲍耶，终生从事第五公设的证明，却屡遭失败无所收获。当他得知儿子亚诺什·鲍耶要研究这个问题时，又伤心又着急，写信告诫儿子：“它将会剥夺你生活中的一切时间、健康、休息和幸福!”“这个地狱般的黑暗会吞噬成千个犹如灯塔般的牛顿，而使大地永无光明。”但小鲍耶知难不退，勇敢地投入了战斗。

前人的教训引起鲍耶与高斯不谋而合的深思，终于悟出第五公设是不能证明的，坚信存在着一种新几何并着手探求。1823年，鲍耶写成了摒弃第五公设的《空间的绝对几何学》一文，作为父亲一本著作的附录出版。至此，创造新几何的想法终于冲破了笼罩在第五公设周围的黑暗，几何革命的序幕拉开了。

遗憾的是，鲍耶的重大创见当时不被任何人理解，甚至著名的数学权威高斯也不支持他。年轻的鲍耶经不起这样的打击，从此一蹶不振。

非欧几何诞生日(www.xing528.com)

最终解决第五公设问题的是俄国数学家罗巴切夫斯基。他于1792年出生在诺夫哥罗德(今高尔基城)一个贫穷小职员家庭，三岁丧父。1802年，母亲送他进入喀山中学学习。在那里，他幸运的碰上一个知识渊博又循循善诱的数学老师，受其影响，很早就迷上了数学。

1808年，15岁的罗巴切夫斯基升入喀山大学，从此就与这所学校结下了不解之缘。从大学生到教授，从系主任到校长，他在这里渡过了40个春秋。

22岁起罗巴切夫斯基开始研究第五公设，起初也想找出第五公设的证明，试用的方法及得到的结果都与萨开里基本相同。然而正是在萨开里以为成功，兰伯特望而止步的地方，罗巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了导致几何革命的新思想。

罗巴切夫斯基引用与第五公设相反的断言：“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，同时保留欧几里得除第五公设以外的其他公设。以此为基础，经过严格推理、演绎，得到了一连串与欧氏几何不同的命题。他发现这样构成的逻辑体系如同欧氏几何一样，本身相容，找不出任何矛盾，于是确认这个系统是一种新几何。由于新几何的理论与直观表象不相符合，不能马上得到它的现实意义，罗巴切夫斯基谨慎地称为“虚几何”。后人把这种仅仅改变了平行公理的几何称为非欧几何。

从1823年起，罗巴切夫斯基全身心投入新几何的研究。历尽一千多个艰难探索的日日夜夜，他的创新精神与锲而不舍的工作终于结出了硕果。

1826年2月11日是数学史上一个划时代的日子。这一天，在喀山大学物理数学系会议上，罗巴切夫斯基以平静无畏的姿态，宣读了他的学术报告《平行线理论和几何学原理概论及证明》，向世界公开了自己的新观点。这一天被公认为“非欧几何诞生日”

几何学上的哥白尼

罗巴切夫斯基的新几何学说打破了人们2000年来“只能有一种几何学”的根深蒂固的信念，把几何学从其传统模式中解放出来。创造不同体系的几何道路打开了，人们对宇宙结构的认识不再受直接经验与现实表象的束缚，而是走向了理性文明。

旧世界观的基础被动摇了，宗教势力对此又恨又怕，总主教宣布罗巴切夫斯基的见解是异端邪说，社会舆论也群起攻之。一时间，报纸、杂志、匿名信对罗巴切夫斯基的侮辱、谩骂铺天盖地而来，其荒唐无理的程度是史无前例的。

在传统势力的黑风恶浪面前，高斯望而却步，鲍耶不堪重压，只有罗巴切夫斯基激流勇进，敢于坚持真理。在1826年以后的30年中，明知征途布满荆棘，遥遥无期，却始终不改初衷，一个人坚持研究，不断有著作出版。甚至在生命的最后阶段，近乎双目失明的情况下，他还用口授方式完成了巨著《泛几何学》。

从发现新几何的时间上来说，高斯在先，鲍耶几乎与罗巴切夫斯基同时。但就论文发表的时间之早，论证之完整，内容之丰富，以及终身不渝宣传新几何、捍卫新几何的功绩而言，高斯与鲍耶都无法同罗巴切夫斯基相比。世人称新几何为罗巴切夫斯基几何恰如其分，历史是公正的。

当非欧几何逐渐为人们接受时，罗巴切夫斯基被誉为“几何学上的哥白尼”。英国几何学家克里弗尔写道：“哥白尼和罗巴切夫斯基之间有一种有趣的相似关系：他们从血统上说都是斯拉夫人，两人在科学思想和科学观点方面都引起了革命。而这两种革命都具有相同的意义。它们之所以具有伟大意义，其原因就在于，它们在我们了解宇宙方面是一次革命。”

1856年2月12日，即在《泛几何学》发表的第二年，罗巴切夫斯基与世长辞了。他没能看到自己为之献身的科学的胜利，但他的名字却在数学史上永放异彩。