康托创立集合论：数学界的大发现

早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，全体自然数与全体平方数，谁多谁少?不仅伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。谁又会想到，这一问题却为现代数学基础——集合论的诞生播下了种子。

集合论是19世纪末德国数学家乔治·康托创造的。由于它深入到数学的每一个角落，所以成为一切数学分支的基础。英国哲学家、数学家罗素称赞康托的发现“或许是我们这个时代可引以为自豪的最伟大的事件”。

勤勉的康托

乔治·康托于1845年3月3日出生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年，康托全家迁往德国法兰克福。康托一生主要时光是在德国渡过的。

康托弟妹六人，他是老大。父亲从小就给他们灌输宗教方面的教育，并培养他们自信、自强和奋斗精神。父亲在给15岁的康托的一封信中写到：“你的父亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星”。这封信始终陪伴着康托，成为康托终生奋斗的一个动力。

年轻的康托在一所寄宿学校读书，操行评语上写着：“他的勤勉和热情堪称典范，在初等代数和三角方面成绩优异，其行为举止值得赞扬。”他是一个有很高天赋，全面发展的学生，在数学方面尤为突出。但父亲并不希望儿子献身纯粹数学，希望儿子能够学工程学。

1862年，康托上了苏黎世大学，次年又转入柏林大学学习。当时，维尔斯特拉斯、库默尔等著名数学家都在柏林大学任教。受他们的影响，康托放弃了当工程师的打算，转为研究纯粹数学。

他22岁时获得柏林大学数学博士学位，博士论文是关于数论方面的。他在博士论文中提出了一些奇异的观点，这在常人看来似乎有些“离经叛道”。他却认为，数学中提问的艺术比起解法来更为重要。后来，康托对数学独特的贡献就在于他以特殊的提问方式开辟了广阔的研究领域。

1869年康托在哈雷大学担任助教，主要研究数论、不定方程和三角级数。

集合论的诞生

从古希腊时候起，对“无限”问题的研究就一直是数学家努力攻克的堡垒之一，但这一工作极其困难。比如，某种无穷多事物的计数问题，两类无穷多事物的个数的比较问题等，人们对此类问题的认识还不够深入，致使数学中有许多遗留问题未能得到彻底解决，例如实数是否可数?实数有多少?等等，在分析学中也留有不少的疑问。

到了19世纪下半叶，德国另一位大数学家戴德金作出了重大突破，他是对20世纪有极大影响的数学家。戴德金曾著文论及“无限”，认为一个系统S如能和本身的一部分相似，称为是无限的，否则是有限的。

在伽利略问题提出200多年以后，1873年康托开始了有关集合和无限等问题具有变革意义的工作。他第一次系统地研究了无穷集合的度量问题，并给出了度量集合的基本概念：一一对应，以此作为衡量集合大小的一把“尺子”。这样，如果两个集合之间能够建立一一对应的关系，就说它们的个数是相等的。康托利用自己的这一结论成功地证明了实数集合与自然数集合之间不能建立起一一对应关系，从而证明了实数集合是不可数的。也就解决了伽利略问题。

同年12月7日，他把自己这一发现写信告诉戴德金。以后，数学史家把这一天看作是集合论的诞生日。

次年，29岁的康托结婚了。在度蜜月时他碰到了戴德金，两人进行了学术交流。康托继续戴德金的想法，认识到戴德金关于无限的定义是正确的，但是无限集彼此之间也是千差万别，并不相似，应该加以区别。接着，康托就把他的这些研究成果写成《论所有实代数的集合的一个性质》一文，发表在《克列尔数学杂志》上。这是关于集合论的第一篇论文，具有开创性意义。该文详细地论说了“无限”这一问题，受到世人注目，并成为后来的势和序数理论的基础。

以后十年间，他继续探索并发表了一系列论文，并以《集合论基础》为题作专著于1883年出版。他开始了数学一个全新领域的研究。他发展了奠基于对实无穷作数学处理的超限数理论，并创造了相似于有限数运算的超限数算术。

逆境中蒙难的康托及其集合论

在康托看来，全体自然数与全体平方数一样多，因为每一个自然数都对应着它的平方数。可是，人们自古以来一直认为“全体大于部分”，康托的新思想从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，在这时候是多么需要获得外界的支持啊。但当时他的新思想不能被多数人理解，得到的不是赞美和支持，而是一连串怀有敌意的批判，特别是他的老师克罗内克。

克罗内克也是一位犹太人，柏林学派的领袖。他只承认有限，至多是自然数，对康托的“无限”观持严厉批判态度。他凭借手中的权势，长期扣发康托的文稿，甚至攻击康托是神经质，诬蔑他是科学的骗子、叛徒，他的“思想是近十年来最具兽性的见解”。康托任教的哈雷大学在小城市，他薪金微薄，曾希望进入柏林大学任教，但身为柏林大学教授又专横跋扈的克罗内克处处跟他为难，挡住他立足柏林的通路，给康托带来了巨大的压力。康托那已经十分紧张的神经支持不住了，终于在1884年患了精神分裂症。

为了使他创造的数学天国更加美好，当康托身体稍有康复，他又拿起笔，继续探索。为捍卫真理，与传统的旧观念作斗争，在逆境面前不屈不挠。

1891年克罗内克去世，康托的阻力减少了许多，数学界对康托的理论逐渐消除了疑虑。康托出版了他最著名的著作《关于超穷混合理论的论证》一书。他的理论在法国数学家阿达玛那里受到了重视，不久就在测度论、拓扑理论中获得了应用，人们这才认识康托理论的重大意义。

1918年1月6日，这位19世纪末最有影响的数学家的心脏终于停止了跳动。

真理是不可战胜的，康托最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉，许多人为康托鸣不平，对他的遭遇深表同情，大数学家希尔伯特就曾热烈赞美康托的业绩，他大声疾呼：“没有任何一种力量，能够把我们从康托所创造的伊甸乐园中赶走。”

现代数学的基石(www.xing528.com)

研究数学首先得考虑一些确定的对象，如数、点、图形等等，把任意一些确定的对象看成一个整体时，就是一个集合。集合论是研究集合的一般性质的。从康托把有限集推进到无限集开始，不仅它本身形成了数学的一个独立分支，而且由于构成集合的对象的任意性，讨论的性质的普遍性，它很快就渗透到几乎所有的各个数学分支中，对数学产生了巨大的影响，成为整个现代数学的基础。

集合论体现现代数学思想，它以全新的手段考察数学的研究对象，既能见树木，又能看到森林。对某一类问题的研究，像蘑菇一样成堆成片地作出发现。邻域、映射、线性空间、结构、群、环、域等一系列现代数学概念，都建立在集合论之上。

集合论中的连续统假设更是数学问题来源于几何、力学、物理等方面的现实问题的一个范例。它是康托在1882年提出的一个猜想：在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数。直观地讲，就是实数有多少的问题，一条直线上点有多少的问题。一百年来，经过许多著名数学家的不懈努力，取得了一些重大进展，而且为了解决它也找到一些著名的方法，这些方法对解决其他数学问题起了积极的作用。但是就猜想本身来说，还需要继续寻求新的数学命题或采用其他有效途径去攻克。

地图着色知多少——四色定理及其证明

1976年6月，发生了一件轰动数学界的大事：困扰数学家们100多年的“四色定理”终于被证明了。证明是由美国数学家阿佩尔和哈肯利用高速计算机工作1200个小时才完成的。如果这一过程要人工计算的话，大概得用几十万年的时间。真不可想像!

四色问题的发现

1852年，刚从伦敦大学毕业的弗南希斯在对英国的地图着色时，发现了一个有趣的现象：无论多么复杂的地图，只需要用四种颜色就能将它区分开来，也就是说，用四种颜色着色就能保证不会有两个相邻地区的颜色相同。

弗南希斯将自己的发现告诉给哥哥弗德雷克，引起了弗德雷克的浓厚兴趣，他深信弟弟所发现的这个结论是正确的，并企图从数学的角度对这个结论给予证明，但所有的努力都失败了。在百思不得其解的情况下，只得专程去请教他的老师、英国著名的数学家德·摩根教授。摩根教授绞尽脑汁研究这个问题，可也一无所获。后来，他将这一猜想写信告诉了在都柏林的著名数学家哈密尔顿，于是“四色猜想”首次以数学的形式提了出来。

乍看起来，四色猜想很简单，现在世界上的国家和地区，也不过200多个，用四种颜色着色区分，这是不难办到的。但是，作为一个数学问题来说，它所要讨论的不是哪一张具体地图，而是概括所有可能的地图着色问题。它所涉及的国家地区的数目可以是任意的，而且边界也可以是各式各样的。

此外，四色问题所讨论的地图，还有两条限制：

一条是在地图中，每个国家必须连成一片。不能分成不相连的两片或更多片。

另一条是，在地图中，两个国家(或地区)的边界必须是直线或者曲线，不能是一点。

曲折的证明程

著名数学家哈密尔顿对“四色猜想”产生了极大的兴趣，经过长达13年的努力，直到1865年去世，其研究工作依然毫无结果。

四色猜想刚被提出时，并没引起很大的注意，许多数学家低估了它的难度。爱因斯坦的老师闵可夫斯基是著名的数论专家，也是一位非常谦虚的人。他曾认为四色猜想的证明并不复杂，其所以一直没有获得解决，仅仅是因为当时世界上一流的数学家没有研究它。有一次给学生上课时，偶然谈到了这个猜想，他说可以给出证明，并试图当堂证给学生看。可是他证得满头大汗，却是一筹莫展，只好第二次上课时接着证。一连几堂课，费尽九牛二虎之力，仍然证不出来。有一次，证明时正好天下大雨，雷声震耳，他惭愧地对学生说：“老天在责备我讲大话了，我证明不了四色猜想。”

此后，许多数学家都曾声称给出了这个猜想的证明，但后来逐渐都被发现其证明是有毛病的。这样，四色问题就成了世界上著名的难题之一。一百多年来，没有人能证明它成立，也没有人能举出反例来推翻它，它使数学家们深受困扰。

计算机解决了问题

1879年，肯普曾宣布他证明了四色问题。他的证明虽然在11年后被数学家赫伍德否定了，但是人们认为他的证明思路，有很多可取之处。20世纪以来，许多人一直在继续按照他的思路，推进着四色问题的证明工作，并且取得了不少成就。可惜这些成就所提供的检验方法太复杂，人们难以实现。例如有人在1970年设计的方案，用当时的计算机来算，也需要连续不断地工作十万个小时，也就是说，要连续不断地计算11年以上，才能得出结论，所以难以证实。

之后，人们又大大地改进了证明方案，而且计算机的能力及其使用方法也有了飞快的进步，为机器证明四色猜想创造了条件。

20世纪70年代中期，美国伊利诺斯州立大学的数学家阿佩尔和哈肯独树一帜，利用高速计算机对“四色猜想”进行证明。他们运用了一种“不可避免性”理论，从一万多张地图中挑选了近两千张上机检验，对每一张地图都使用了二十万种可能的方法着色，计算机作了两百亿个逻辑判定，经过1200小时的计算，终于在1976年6月证明了这个数学名题。伊利诺斯数学杂志的审稿人，对阿佩尔与哈肯证明的审查，也是通过计算机来实现的。

阿佩尔与哈肯的工作，使延续了124年之久的四色问题得到证明，成为四色定理。计算机在证明数学难题方面立下了功勋。这一成果轰动世界，引起了极大的反响。

四色定理本身没有多少实用价值，人们可以用四种颜色绘制地图，也可用更多的颜色区分填充。但它曲折的证明历程使人深思，激发人们敢于面对困难，迎接挑战，去探索问题的真谛。美国数学家的贡献主要不在于证明四色定理本身，而在于用计算机解决了人们多年来无法解决的理论问题。它表明，靠人与机器合作，有可能完成连最著名的数学家至今也束手无策的工作，标志着人类认识能力的一个飞跃，极大地推动了以计算机为基础的人工智能的发展。目前，尚有一些问题留待人们去解决：已有的证明能不能简化?可不可以不用计算机而给出证明?这些问题仍吸引着有志者继续进行探索。