数理化知识宝典：橡皮膜上的拓扑学

在人们的日常生活中，你可曾听到和遇到过一张纸只有一个面?左脚穿的鞋子能不能在空间调换位置后，把它变成右脚穿的鞋子?一个穿着外衣的人，怎样不脱外衣把里面的背心脱掉?如果一个图形是画在橡皮膜上的，把这个橡皮膜随便拉一拉，压一压，卷一下，图形的样子会有什么样的变化呢?等等离奇的问题。为了解决这些奇怪的问题，科学家们进行了新的研究和探索。伴随着这些问题的研究解决，一门重要的基础数学——拓扑学诞生了。

著名的七座桥问题

18世纪，在俄国的哥尼斯堡的大学城里，有一条流经这个城市的普雷格尔河，河上有七座桥，其中六座桥是从河的两岸通向河中间的两个小岛，另一座桥则连结两个小岛，一到星期天，总有许许多多的游人在这里漫步。一天，一位好奇的游客提了个问题：“怎样走才能经过每座桥，而且只能经过一次呢?”大家都感到这个问题挺有意思，从而引起哥尼斯堡众多游人的思索。不少人都在比划着，思考着，都想走出一条路线，但是谁也没能找出解决问题的一条路线来。这个问题很快流传开，这就是数学史上著名的哥尼斯堡的七座桥问题。

不久问题便传到当时正在俄国彼得堡女皇卡捷琳娜宫廷里工作的瑞士数学家列昂纳德·欧拉的耳朵里，引起了他的注意。他并没有去哥尼斯堡，而是采用数学研究问题的手法，在彼得堡画出了问题的图形。欧拉在图上把小岛和河岸，画成点，桥画成了连结这些点的线。他把过七座桥的问题归结为一笔画问题：如果从某一点开始，最后回到同一点，中间任何一条线不能重复，能不能一笔画完?

经过多方研究，1736年欧拉得出结论说：按问题要求的方式去经过七座桥是不可能的。七桥问题被否决了，但是一种以数学形式研究新的几何问题却开始了，它就是被后人称为拓扑问题的一门新兴科学。欧拉把七座桥的图形叫网络；线的交点叫顶点；表示桥的线叫弧。从而得出了闭合网络顶点间的关系定理：一个网络要一次走遍，它的奇顶点(即由它发出的弧的个数是奇数的顶点)个数一定是偶数。紧接着，他又推出了一系列的网络定理，这些都是后来拓扑的内容。

欧拉是历史上最卓越的数学家之一，1707年4月15日生于瑞士巴塞尔。父亲是一个基督教教长，也是一位数学爱好者。1720年13岁的欧拉就进入巴塞尔大学学习，受到数学家约翰·伯努利的赏识，并得到特别指导。1733年年仅26岁的欧拉出任彼得堡科学院数学教授，他一生共写了865种著作，在数学上的贡献是很多的。1735年28岁的欧拉为了计算彗星轨道，过度劳累的他不幸右眼失明。

1766年左眼视力也开始下降，不久也完全失明，成了瞎子。1771年彼得堡发生大火，欧拉差点在大火中丧生，他的书库和大量研究的成果几乎全部化为灰烬。悲惨的遭遇并没有使他倒下。双目失明后，凭着记忆和心算仍然进行研究，并通过口述，让他的学生笔录。欧拉对文学、生理学、地理学、物理学、植物学等都有较深的造诣。由于他成功地解决了七座桥问题，因而人们誉他为拓扑学的鼻祖。

拓扑学的形成和发展

里斯丁在欧拉等人的启发下，对几何图形的位置进行了多方的研究，1847年发表了最早论著“拓扑学的初步研究”。并且他首先使用了德文的“拓扑学”一词，其含意指和地形、地势有关的学科。(www.xing528.com)

尽管如此，拓扑现象还是没有受到应有的重视，首先系统地研究拓扑学是20世纪的庞加莱。

庞加莱是19世纪末20世纪初数学界的代表人物，是高斯和柯西之后无可争辩的大师。他于1854年诞生在法国的南希，家族显赫，他的一个兄弟在第一次世界大战时曾任总统。他眼睛不好，视力很差，可是像欧拉和高斯一样具有非凡的心算和思维能力。庞加莱1875年毕业于工科学院，四年后获巴黎大学的科学博士称号。后来一直担任巴黎大学和理学院教授。

庞加莱的数学研究是从微分方程开始的，他在研究过程中，注意到微分方程的积分曲线形状和奇异点性质基本上属于拓扑学的范围。随之，他一般地考察了四维空间中曲面的结构，认为研究n维图形的结构将导致一个崭新的方向。1895年庞加莱写了一本关于位置分析的书，第一次系统地论述了拓扑学的内容，所以拓扑学的诞生是这一年。以后，沿着他的思路很快发展成20世纪极富有成果的拓扑学学科。

拓扑学早期明显地分为两支：点集拓扑和组合拓扑。点集拓扑是直接研究欧几里得空间中几何图形在一一对应的连续变换下保持不变的性质。它是在康托集合论基础上进行的，后来由豪斯道夫等人对它进行完善。他们把集合论和函数空间统一起来进行研究，从而得出拓扑空间的概念，而后随着希尔伯特空间和巴拿赫空间的引入及泛函分析的兴起，也进一步推动了点集拓扑的形成和发展。

组合拓扑是19世纪由庞加莱开始，基本思想是以多面体为对象，利用把多面体单形剖分所得到的复形，去研究其拓扑性质。庞加莱从1895年到1904年发表了一系列论文，提出了流形、单形、复形、边缘、链、贝蒂数、挠系数、示性数等概念。20世纪40年代组合拓扑学的发展方向又分成两个分支。一是通过线性映射来研究多面体的组合结构，它与微分拓扑学有深刻的联系，一般称之为微分拓扑学；另一分支是随着同调论的发展，代数方法的应用成为拓扑学的主流，称为代数拓扑学。至此，拓扑学发展较细腻且逐渐趋于完善。

现代数学的基础

随着数学学科的发展，拓扑学已成为当代现代数学几乎是所有的分支包括几何、代数、分析等的统一体，可以说拓扑学统一了数学。从另一角度来看，它又成了现代数学的基础。一个要进行现代数学研究的人，不学习拓扑学这门基础数学是不行的。拓扑学的应用范围也是非常广泛的。比如，研究一个点在圆上以任意的速度运动，这样一个普通的物理学问题就必然涉及到拓扑学；又如球面上任画一个三角形或在任意一个曲面上画一个三角形，它们和平面上的三角形有什么关系?也涉及到拓扑学问题。不光在理论研究，而且在工程建筑、地质测量等许多方面，甚至日常生活中都要用到拓扑理论的问题。