数学界的里程碑：哥德尔的不完备性定理

在科学界有一些问题，当你由已知条件不可能证明其结论正确或是不正确，就被称为“悖论”问题。早在公元前的四百多年，古希腊埃利亚学派巴门尼德的门徒芝诺，就曾经提出过“飞着的箭是静止的”等四个悖论来反对赫拉克利特的流动说，以维护自己学派的静止说，这就是科学史上著名的“芝诺悖论”，这个悖论在当时科学界引起了两派激烈的争论。那么“悖论”究竟给数学界带来什么样的影响呢?

数学大厦的根基

早在古希腊时代，由于人们对空间和时间及“无限”的认识缺乏严密的逻辑基础，引发了芝诺悖论。1871年德国数学家康托创立了“集合论”，人们以为“集合论”的建立，数学已经达到了“绝对的严格”了。可康托却早已忧心忡忡，担心集合论可能遇到矛盾。1899年他曾两次写信给戴德金，提出“集合的集合是否构成一个集合?若这是一个集合，就会出现比一切基数都大的基数而陷入自相矛盾。”可这一问题在当时并未引起大家的注意。

当时，德国大数学家希尔伯特认为，数学的每一个分支，都可以从一些简单的事实出发，用严格的逻辑推理的办法，推演出结论来。他的这个思想来源于他对几何的研究。因为他对几何知识进行了系统的归纳整理，成功地把几何建立在一些简单的事实基础之上，他把这些事实称之为公理。后来，他又对其他的数学分支算术、代数也使用了这种方法，也获得了一些成功，于是希尔伯特学派的数学家们以为数学的任务就是逻辑推理。

塞尔维亚理发师的难堪

1900年在法国巴黎召开的国际数学家会议上，大数学家庞加莱宣布：“数学的严格性，看来直到今天才可以说是实现了。”当时的数学界真是兴高采烈，喜气洋洋。就在人们庆贺数学王国达到“绝对严格”时，1902年英国著名哲学家、数学家罗素提出了一个令人难以解释的“罗素悖论”：设z为一切不含自身为元素所组成的新集合，那么z是包含在自身为元素的集合中呢?还是不包含于自身为元素的集合中呢?无论包含与否都会导致矛盾。

为使这一表述通俗化，罗素进而将它改编为“理发师悖论”。

在塞尔维亚有一位理发师，他宣称：他只给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，不给那些给自己刮胡子的人刮胡子。可是当他自己要刮胡子时，却陷入了尴尬境地。若他不给自己刮，根据他前面的条件，应该给自己刮；若他给自己刮胡子，又由于他后面的声明，他不该给自己刮胡子。总之，无论刮与不刮，都违背了自己的诺言，这位可怜的理发师陷入为难之中。

罗素所提出的集合论悖论，向世人宣布了一条惊人的信息，数学大厦的基础——集合论是自相矛盾的，没有相容性。这一问题的出现使得刚刚平静的数学界，又掀起了轩然大波，也使众多数学家们大惊失色，不知如何是好。千百年来辛辛苦苦建立起来的数学大厦的根基出了问题，这个数学大厦岂不危急!

哥德尔的功绩

为了解决集合论中的这个悖论，众多著名数学家们在惊惶之余又纷纷投入了工作，为修补数学大厦忙碌起来。有的从公理体系方面入手论证；有的从类型方面入手来讨论；都想对集合论进行一些改造，以弥补大厦根基的这条缝隙，但成效甚微。

直到1931年奥地利的青年数学家哥德尔间接地回答了这一问题。(www.xing528.com)

哥德尔是20世纪的一位伟大的数理逻辑学家，他于1906年出生于奥地利，1930年在维也纳大学获博士学位。1931年哥德尔对希尔伯特的形式化目标表示了怀疑，他想说明这个目标是不可能达到的。他认为，数学的任务不能只是逻辑推理，还必须对外界进行观察，不断用新的发现来丰富数学，而这些新的发现，是不能使用原来的数学知识去证明的。这样他就想到了要去证明他的上述想法。

证明却是极其困难的。因为它要洞察全部数学推论能力的界限，就在哥德尔一筹莫展的时候，有一个有名的问题给了他很大的启发。这个问题是：下面这句话对不对?

“这句话是假话”。

如果你说这句话对，那你就得承认这句话是假话，因为这是这句话本来的意思；如果你说这句话不对，那你就得认为它不是假话，这一来，那你就得认为它不是假话，可这样，那你就承认这句话是对的了。不管怎么回答，都会导致矛盾。

哥德尔模仿这个问题也写出了一句话：“这句话是不能证明的。”他想，如果你能从某些前提出发证明这句话是对的，那你就得承认这句话是不能证明的，那你就陷入矛盾；如果你能证明这句话不对，那你就承认这句话是可以证明的，你又怎能证明它是错误的呢?

可见，从任何前提出发，你既不可能证明这句话对，也不可能证明它不对。

这样，哥德尔就得出一个结论：任何一门数学中都有这样的东西，从这门数学中的已知事实出发，你不可能证明它对，也不可能证明它不对。这也就是说，包含通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不可能证明的。这看起来似乎简单，但却具有重大意义的发现，被数学界称为“不完备性定理”，也叫“哥德尔定理”。

划时代的贡献

哥德尔的发现轰动了世界，他的这一“不完备性定理”是数理逻辑发展史上的一个重大研究成果，是数学与逻辑发展史的又一个里程碑。因为罗素集合论悖论的提出，从理论上动摇了千百年来数不清的数学家们辛勤建立起来的数学大厦根基，数学基础理论——集合论有了问题，并导致了第三次数学危机。因此，必须对数学的基础进行严密的考察，而哥德尔的理论恰恰完成和解决了这个问题，把众多的数学家们从迷惑和惶恐中解救出来，并推动了数学的向前发展。所以，科学家们一致称哥德尔的不完备性定理是划时代的里程碑。

哥德尔定理不但宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的，而且给数学中证明不可能问题开创了一条新路。例如，希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出的23个问题中，第10个问题是：能不能找到一个办法，用来判断任何一个不定方程有没有整数解?应用哥德尔定理，数学家们成功地解决了这一难题，其答案是“不可能”。而这一问题答案的取得花了70年的时间。

哥德尔定理的发现，使他受到普遍的崇敬。第二次世界大战前夕，他去美国普林斯顿高级研究所工作，1951年获得爱因斯坦勋章。大数学家冯·诺伊曼在授勋仪式上说：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的，不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑。”