数学界大发现：模糊数学的诞生

1965年一名叫扎德的美国人向世人公布了题为《模糊集合》的论文。它像一块巨石投入宁静的数学水域，顷刻激起轩然大波。千百年来数学是一门最精确的科学，这一天经地义的观念牢固地占据人们的头脑。难道数学还能模糊吗?对此一时间看法不一。有反对，有怀疑，也有人暗自惊叹扎德的远见卓识。

从“秃头悖论”说起

其实事物的模糊性远在古代就有人涉足，“秃头悖论”就是古希腊学者发现的一种逻辑矛盾。日常生活中一个人是否秃头，一望便知，但要给秃与不秃下一个精确的定义，然后按严格的逻辑推理，这不仅给判断造成困难，而且还会推导出“满头乌发者是秃头”的笑话来。

另一个逻辑矛盾是“身高悖论”。如果以“身高两米者为高个子”和“比高个子矮一毫米者还是高个子”为前提则可推出“侏儒是高个子”的矛盾结果来。

“秃与不秃”、“高个子与低个子”这些概念本身带有模糊性，若用传统的非此即彼的二值逻辑判断，必然会引出矛盾的结果。在古时候这种悖论只是引起学者们喋喋不休的争论。到了科学技术突飞猛进的今天，事物模糊性问题的研究与解决已是迫在眉睫了。

1946年人类发明了电子计算机，它给计算带来了高速度和高精确度，当然它还有许多优点都是人脑所望尘莫及的，人们亲切地称它为“电脑”。但是人能听懂不完整的言语，可以辨认潦草的字迹，画家不用精确计算而能画出栩栩如生的图画来，电脑却无法实现。因为电脑只具备对界限分明事物的识别与判断能力，而对界限不分明的事物却失去判断能力。界限分明，能用“是”与“否”得出明确结论的事物称为明晰事物；界限不分明，不能断然用“是”或“不是”得出结论的事物称为模糊事物。要提高计算机的应用范围就必须对事物的模糊性做深入研究。有一部分计算机专家、应用数学家看准了方向把精力投入到事物模糊性的研究。

“愚者千虑必有一得”

千百年来绝大多数数学家都认准一个理，数学是最精确的科学，越精确越好。因而处理“精确数学”问题的工具，多得不胜枚举。如方程，不等式、导数、微分、积分等等。但如何处理模糊事物呢?人们一筹莫展。

进入20世纪以后，不同领域的学者从实践经验中逐渐提出关于精确性和模糊性的新观点，向传统思想挑战。1923年著名英国逻辑学家罗素对盲目崇拜精确性提出批判，发表了论文《含混性》。它是模糊数学研究的起点。1937年，布兰克以相同的题目进一步探讨了含混性。1951年法国学者日用法文创造了模糊集合这个术语。但他们对模糊数学还未能得出系统的理论。

这时美国有一位叫扎德的学者，早年从事计算机理论和系统科学的研究。在他所研究的领域内，模糊概念比比皆是，开始他尝试用传统数学的方法处理，但屡屡失败。为此他绞尽了脑汁。扎德钻研了罗素的“含混性”论述，但罗素并未给出解决含混性的方法。直到1951年日创造了“模糊集合”这个术语，并提出了一些解决方法。开始扎德一阵惊喜，然而当他仔细读完日的大作之后，发现日将事物的“模糊性”与“随机性”两个不同的属性混为一谈，并用概率论的观点方法去研究解决模糊问题，显然是开错了药方。扎德又一次陷入困境。但固执的扎德毫不退缩。他在自己研究的领域中苦苦求索，寻找解决模糊性的工具。时间一天天，一年年过去了……

工夫不负有心人，扎德用了十几年时间潜心研究，直到1963年他终于找到了解决“模糊事物”的比较成熟的方法。

按照他的想法，对于明晰事务所构成的集合(用A表示)，有着明确的从属关系，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一。如果用“1”表示属于这个集合时的状态，用“0”表示不属于这个集合时的状态。那么A(u)就是集合A的特征函数。其值只能是0和1中的一个。

对于由模糊事务所构成的模糊集合，一个事物没有非此即彼这种绝对明确的隶属关系。因而不能用特征函数来描述。于是扎德想出了一个巧妙的法子，将只有两个值“0”与“1”的特征函数推广到从0到1之间的任何一个可能值，即整个闭区间[0，1]上的所有实数值。将这种关系表示为：μ(u)∈[0，1]或0≤μ(u)≤1。将μ(u)叫做模糊集μ的隶属函数。

扎德将自己的新方法修改整理，于1965年正式在美国发表。扎德终于迈开了模糊数学的第一步，但他并没有因此而留步，他深知今后的路更长，更艰难。(www.xing528.com)

病树前头万木春

科学的发展总不是一帆风顺的。往往会遇到风浪和波折。模糊数学的发展也是如此。在模糊数学诞生初期，人们由于不懂得模糊性是事物类属和性态的不确定性，因而对模糊性有过种种误解。有的人将事物的模糊性与近似性混为一谈；有的将模糊性与随机性、含混性等混为一谈。

随机性是在事件能否发生中表现出来的条件的不确定性，而事件本身的性态和类属是确定的。比如说投掷硬币。国徽是否在上面是随机的，但是每次投掷的结果，不是朝上便是朝下，毫不含糊。而模糊性却是事物本身的性态和类属的不确定引起的。

当然模糊性与事物的近似性、含混性也有区别。扎德在自己的研究中对事物的模糊性与随机性、近似性、含混性的异同作了分析比较，然后给出模糊性的准确含义。科学地规定了模糊数学的研究对象。从理论上阐明了模糊数学作为一门科学、独立发展的必要性。

当扎德澄清了种种错误认识后，使得模糊数学从理论上以及与实际问题的结合上都取得了较大的发展。理论上分解定理与扩张定理的建立。它与传统数学的结合中诞生了模糊矩阵、模糊方程、模糊概率、模糊算子等等。它与实际问题的结合中诞生了模糊语言、模糊识别、模糊控制等许多分支。历经冬日严寒的模糊数学，终于将春天的万紫千红带给人间。

模糊数学和我们

模糊数学拓广了传统数学的分类方法，给众多学科带来重大启示。从它诞生初期扎德就把模糊数学的理论与解决电子计算机、控制论等现代科学的实际问题相结合，使这门学科尽管起步较晚，但迅速得到广泛应用。

在工业和现代科学技术领域中，各类机床或机械设备的模糊控制、机器故障的模糊分析、雷达对探测目标的模糊分析等等。

特别是从本世纪90年代以来科学家们将模糊数学的理论用于新型计算机的设计，使得计算机向着人工智能化方向迅速发展。使用模糊数学原理设计出的具有模糊识别功能的计算机可以直接识别人们用各种手写体写的字，可以听懂人们用不同方言说的话；可以控制各种家电；可以对交通、生产进行管理……

在农业方面，农作物产量的预测、农业技术方案的评估、病虫害的模糊预测与控制……

医学方面，借助于模糊方法可以对冠心病、肝病等疑难病进行诊断，对癌细胞的判定与识别，对针刺麻醉以及手术效果的评估等各个方面。

除此而外，模糊数学还用于经济决策分析、经济技术的可行性研究、气象预测、地质、军事、体育等各个领域。

总而言之，模糊数学的应用前景是广阔的。它作为数学思想方法上的转折与飞跃必将对现代科学的一系列分支产生实质性的影响。