数学界的大发现：突变论的智力革命

大千世界无奇不有，昨日还好好的一座楼房，第二天却突然倒塌了；白天还屹立在地面上的一座美丽的村庄，夜间因突然地震而完全毁坏了；蝗虫急速繁殖，造成虫害；路边躺着的一只狗，突然扑向某个行人等等。这些突发性事件的发生，不能不引起人们的思索，其中有什么规律可循?能不能用数学形式加以表述呢?对客观世界存在的这些突发事件的思考研究，引起了数学界又一次智力革命，一个崭新的理论也随之而诞生了，这就是“突变论”。

奠基人伦尼·托姆

自从牛顿和莱布尼兹提出了微积分理论以来，连续这个概念似乎成了数学研究对象的正宗，可是对于定义域中具有跳跃变化的不连续函数、图形及断裂的曲线和曲面，长期以来却很少有人问津。但是，跳跃、突发现象的问题在各个领域和各学科中越来越突出，如：流体力学中的湍流、光学中的激光、电学中的脉冲、解析函数中不连续的奇点、思维科学中的顿悟等等。于是，科学界就面临着这样一个问题：如何给这些突变现象以数学形式的说明呢?

19世纪末法国数学家庞加莱在学校学习期间就从事微分方程的研究。1879年他向巴黎大学提交过一篇用微分方程计算描述生物进化的论文，文中涉及到细胞的分化和形成，与突发性事件有关。这是第一篇通过数学形式论及突变的文章。20世纪30年代莫尔斯利用变换对事物进行分类也对突变的研究起了极大的作用。但是这些知识理论始终没有形成一个系统的新分支。

1968年，法国数学家伦尼·托姆在一次世界性的科学大会上发表了一篇论文，“生物学中的拓扑模型”。这篇文章通过拓扑模型的形式表述了生物细胞分裂中的各种情况，可以说是突变论崭露头角。但是，当时尚未引起人们的注意。对此他并不灰心，仍从事这方面的研究。从生物进化的实验中，他终于发现各种类型的细胞，最初在适当的位置上被组合起来时，并不能简单地形成某一形态。如一个肺细胞在后来确实分裂成两个肺细胞。但在早期阶段，这个细胞也许可以组合成肺细胞也可能组合成肺部里的毛细血管细胞。经过多次观察和实验他发现在最初阶段，低级细胞的性质是不确定的，有可能分裂、发育成多种不同类型的细胞，形成肺、肝、脾等中的一个。然后，它们在各自所处的位置发展且形成为性质确定的高级细胞，再分裂而形成完整的脏器肺、肝、脾等。托姆站在拓扑学的高度上总结了上述进化的过程，指出细胞在初级阶段，蕴含了突变，即跳跃式的变化。

托姆详细研究了各种跳跃式——突变现象以后，用数学模型进行了描述和分类。他证明并得出结论，在控制空间不超过四维的情况下，尽管突变现象形形色色，但总可以归纳为：折叠、尖点、燕尾、蝴蝶、椭圆型脐点、双曲型脐点、抛物型脐点等七种基本类型，其中每一种都有其基本特征，托姆给出其特定的位势函数和数学表达式。这样，他在奇点理论的基础上，以结构稳定这一拓扑学命题为基本概念，终于建立了突变理论，于1972年出版了《结构稳定性和形态发生学》一书，向世人宣布突变理论正式诞生了。

奇妙的是他的理论可以用来解释狗咬人的行为变化。狗咬人是一种进攻行为，这种进攻行为受两个互相矛盾的倾向所约束：发怒或恐惧。这两种因素在某种程度上可以测量出来，而这两种行为之间的转变是一种不连续的变化。一只狗的发怒情况和张嘴、露齿的程度有关，而恐惧程度则可以由它的耳朵向后拉平程度反映出来。把这两种行为和数学模型结合起来，就可计算出狗是进攻还是逃跑。

伦尼·托姆是法国的一个高级科学研究院的数学家，主要从事拓扑学、高维空间曲面的研究，用微分拓扑的方法分析曲面的奇点。他曾以协边理论的创造驰名于世。他的奠基作《结构稳定性和形态发生学》是一部很奇特的书，其中不包含数学证明，却包含了许多哲理性观点。正因为如此，突变论的提出引起了世界上科学界激烈的争论，一部分科学家积极支持他的理论，一部分却强烈地攻击和反对他的理论。

激烈地反对者(https://www.xing528.com)

几乎所有的新生事物，当它刚一出现时，出于种种原因，总要遭到一些非难。“突变理论”由伦尼·托姆刚一提出就遇到世界上一些科学家们的激烈反对，具有代表性的是英国某研究院工作的萨斯曼和他的助手赞勒的强烈反对。他们批评托姆的证明不严格、用词含糊、滥用数学理论，证明结果、各种应用模型不可靠，不可能由它们得出什么结论等等。反对者的文章刊登在英国“自然杂志”上。在突变理论发表以前，人们研究的自然现象都是连续变化的，对那些不连续的、跳跃式的(即突变的)的自然现象不能解释，也没有一个系统的解释。而突变论的提出恰恰是完成和补充了这种不连续的自然现象的解释。所以一些科学工作者还把“突变理论”嘲笑为“皇帝的新衣”，即用根本不存在华贵新衣招摇撞骗。

坚定的支持者

齐曼是英国沃里克大学著名的数学教授，1970年以前研究拓扑学，以后把注意力逐渐集中到突变理论，特别是对于这个理论模型的运用，他做了许多工作。他是托姆“突变论”的坚定也是最有代表性的支持者之一。1976年4月，他在“科学美国人”杂志上发表了“突变理论”一文，在此文中写到：“突变理论，是最近十年来国外数学界提出的一种新的数学理论。它运用拓扑学，奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界各种形态、结构的不连续的突然变化。英文的原意是指灾难性的突然变化，以强调变化过程的间断性，有时也直接表示市场的崩溃、战争的爆发、地震的发生等带来灾难性后果的变化。”齐曼通过研究还介绍了突变理论在其他学科如物理学、工程学、医学等方面的应用。

其他科学家也从各个方面对这一理论进行研究，很快发现它的意义。“突变理论”现已被世界上大多数科学家们所承认和接受，而且成了数学范畴内的前沿学科。尽管这个理论提出的时间不长，但科学的飞速发展使这门学科逐渐完善，且在科学领域内站稳了脚跟。

智力革命

据1984年不完全统计，短短的12年中，国际上已发表突变理论研究性及应用性的文章1000篇以上。这说明“突变理论”的成果在不断扩大，它以强大的生命力，在数学这棵大树上发出了一枝茁壮的新芽，而且越长越大，成为数学上的三大前沿学科(非标准分析、模糊数学、突变理论)之一。

尽管如此，突变理论却并非为一个独立的数学分支。就数学理论而言，我们难以确定哪里是突变理论的起点，哪里是它的终点。就其应用而言，它与其他学科的关系太密切了。因为它的应用及理论渗透到了物理学、化学、生物学、医学、甚至语言学中，而且在经济学、社会学的各种专业性杂志中也能找到它的理论。所以不少的科学家把这样的理论知识又称之为交叉学科。

从另一个角度来看，突变理论的出现又大大推动了一些纯数学分支的发展，如微分拓扑、微分方程、代数几何、交换代数、泛函分析和全局分析的发展。突变理论也大量地在实际中得以运用。如不少人将突变理论运用到物种的变化、地震的测量、股票的炒作等各个突发事件中。科学家们认为突变理论的诞生是微积分以来数学上最重要的一个发现。科学家们赞誉它是数学界的一次智力革命。