芒德勃罗创立分形几何：数学界的大发现

当你漫步在海滩时，你可曾想过海岸线有多长吗?冬天，当雪花落下来时，你可曾留心过每个雪花的轮廓曲线是什么样的吗?……这些不规则，但又很常见的图形，虽不会引起常人的重视，但这些问题在当代数学家芒德勃罗的眼中却有着不同的意义，他根据这些独特的图形创立了分形几何。

不规则事物的启发

同学们在学校里学习的可以说都是经典几何学，以规则且光滑的几何图形，如球面、双曲面、马鞍面、花瓶表面等几何图形为研究对象。但自然界中大量存在的事物或数学模型却是极不规则、极不光滑的，如山峦、河流里的漩涡、海岸、云朵及土地龟裂的裂纹、玻璃窗上的冰花等等。这些图形使传统的几何学和古典数学显得有些束手无策。

1927年英国植物学家布朗用显微镜观察水中悬浮的花粉，发现这些花粉颗粒不停地做不规则的运动，他对其他液体中各种不同的悬浮微粒观察发现都有此种现象。布朗通过分子运动学说解释了这一现象：认为液体实际上是由许许多多的做不规则运动的分子组成的，悬浮的微粒被液体分子包围着，不断受到液体分子的撞击，由于撞击的力量不同，而引起悬浮微粒不规则的运动。后来，人们把这一现象称做“布朗运动”。芒德勃罗细心地分析了布朗运动，终于发现了隐藏在不规则运动中的分形问题。

芒德勃罗认为布朗运动的基本形式是随机行走，所使用的基本数学知识是高斯的正态分布，所谓正态分布是呈钟形(古代铸的钟)曲线形状的一种分布。法国数学家莱维在研究这个问题时提出：布朗运动过程的整体与部分有时有相似性。虽然通常的想法是高斯过程，即正态分布，但是莱维证明了随机行走(或飞行)还具有自相似性。莱维的这一思想对芒德勃罗影响极大。从1977年芒氏的“分形”一书中，可以看出，他已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合。遗憾的是，科学界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。

1963年秋季芒德勃罗在哈佛大学听了斯图尔特的一次讲座，了解到流体力学研究讨论阵发(间歇)现象。同时也知道了前苏联学派关于湍流——不规则的涡流，研究的一些最新成果，激发他转向湍流研究。很快他感到这些观念对于他并不算什么新鲜事，大约10年前他在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象，他认为湍流中的许多问题都与他研究的分形有关。

不寻常的回答

1967年，芒德勃罗在美国“科学”杂志上提出一个问题：“英国的海岸线有多长?”他自己的回答却使人们大吃一惊，海岸线的长度可以认为是不能确定的!这取决于测量所用的测度。比如从飞机上往下测，数值为a；若人沿着海岸步行测，海岸线长b等于步长乘步数。由于步行时经过的弯曲比飞机上观察的要细致得多，从而b大于a；如果是一只小虫沿海岸线爬行测量，经过的弯曲又比人步行时更多，测得数值c必定又大于b。这就是说，对海岸线观察得越贴近，越仔细，发现的弯曲细节就越多。但是，当你把从空中拍摄的一百公里长的海岸线与放大了的十公里长的海岸线的两张照片相比较，竟会发现它们看上去十分相似，这就是自相似性。具有自相似的图形在客观世界中大量存在。芒德勃罗为了给具有这种性质的复杂图形命名，翻遍了他儿子的拉丁文字典，终于在1975年冬天的一个下午，杜撰出了一个新名词Fractal，译成中文叫“分形”。

科学界中的流浪汉

波努瓦·芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。

还在青少年时期，芒德勃罗就喜欢几何学，几何直觉很好。1944年他在法国著名的“高等师范学院”念书时，他就不喜欢代数与分析。考试时，他总是想方设法将代数与分析问题化成几何问题，将它们巧妙地解决。当时由于布尔巴基学派、经典数学学派统治着高等师范学院，而芒德勃罗不喜欢他们的思想，没在该学院上几天，就转到了“综合工科学校”。1947年从该校毕业，1948年获美国加州理工大学硕士学位，1952年获巴黎大学博士学位。(www.xing528.com)

自芒德勃罗获巴黎大学博士学位后，他就在几个学科“游荡”起来，先后闯入过物理学、经济学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科。他自己也喜欢用“知识流浪汉”、“游荡”等字眼描述自己的学术生涯和人生经历。

芒氏的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征。

此外，他更关心数学史和物理学史。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的，没有翻看的期刊，并且时常注意一些不起眼的非核心刊物。他特别重视当时那些非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”及“直觉的”东西，如：康托三分集，维尔斯特拉斯不可微曲线，可充满正方形区域的皮亚诺曲线，谢尔宾斯基地毯与海绵，柯赫雪花曲线和粒子布朗运动等等。

分形几何的诞生

长期观察分析、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象，除了光滑的欧氏几何以外，应该还有一种不光滑的几何，这种几何更适合于描述大自然的本来面目。

1964年芒德勃罗参加了在耶路撒冷举行的逻辑学与科学哲学大会，在会上作了“尝试性的分形宣言”的报告，可是没有正式发表出来。他还在深思，当今学科分化与设立都很严密，如果要有新的成就，就必须要创立一个新学科。

在莱维飞行、海岸线长度、湍流、噪声及经济学中的非线性动力学等问题研究的基础上，芒德勃罗打破正统思维形式，利用自相似的观点对不规则又极其复杂的事物进行了“分形”。这种分形的科学称为分形几何或分形理论，换句话说，分形几何学研究的对象都有一个共性，就是自相似性，即局部形态与整体形态的相似。这是芒德勃罗在1983年首先创立的。

分形几何是一门边缘学科，有着极其广泛的应用。比如，近年对治疗癌症的研究，普遍采用DLA和KCA模型，就是认为癌具有自相似性。癌细胞发育停滞，而分裂速度异常快，不规则、不协调，一片混乱，在癌区存在着“癌变分形元”，人们设法促进癌的分化发育，以突破滞点。目前许多药物与有效疗法正是服从这一原理进行的。用自相似曲线还可模拟植物枝、叶、根的形态以及植物群落的形态。

尤其要提到的是，分形几何给艺术创作增添了新的活力。利用分形理论，计算机可绘制出扑朔迷离、变幻莫测的分形图形，从山峦、湖泊、云海、森林，到童话世界、外星景物，几乎无所不能。分形图案不仅可以直接用以绘画，还可以使用于电影特技，动画制作等方面，在国外应用已十分普遍。

芒德勃罗的主要贡献是发明了一种新的几何学。但他首先进入的不是基础数理科学，而是“工程技术”。他在工程技术中发现问题，总结出带有规律性的东西，进而将它们上升为一般理论，最终创立“分形几何学”。他虽然不善于证明一串串的数学定理，但他的数学与物理直觉很好。通常人们是由理工科转向经济类、社会科学，反过来却十分少见。但芒德勃罗恰恰违反了这一常规，他在研究了经济后，还能研究湍流，后又研究复迭代函数，并取得了瞩目的成就，这不能不说是科学界一大奇迹。