完美数：数学界的难得珍珠

公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。6是人们最先认识的完全数。

发现完全数

研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”

古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2n－1是一个素数，那么自然数2n－1一定是一个完全数。”并给出了证明。

公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

千年跨一步

完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。

后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。

直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放弃过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。

光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。这比起第四个完全数8128大了4000多倍。跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了。

发现非一帆风顺

在无名氏成果鼓励下，15至19世纪是研究完全数不平凡的日子，其中17世纪出现了小高潮。

16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现：当n＝2和n＝3至39的奇数时，2n－1(2n－1)是完全数。

17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了28个所谓“完全数”，他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的。

1603年，数学家克特迪历尽艰辛，终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216(217－1)和218(219－1)，但他又错误地认为222(223－1)、228(229－1)和236(237－1)也是完全数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。

1644年，法国神父兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的28个“完全数”中，只有8个是正确的，即当n＝2，3，5，7，13，17，19，31时，2n－1(2n－1)是完全数，同时又增加了n＝67，127和257。

在未证明的情况下他武断地说：当n≤257时，只有这11个完全数。这就是著名的“梅森猜测”。

“梅森猜测”吸引了许多人的研究，哥德巴赫认为是对的；微积分发现者之一的德国莱布尼兹也认为是对的。他们低估了完全数的难度。

1730年，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完全数都是形如2n－1(2n－1)的自然数，其中n是素数，2n－1也是素数”，并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理，公式2n－1(2n－1)成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了。(www.xing528.com)

欧拉研究“梅森猜测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2n－1(2n－1)是完全数的仅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。”

1772年，欧拉因过度拼命研究双目已经失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明n＝31时，230(231－1)是第8个完全数。”同时，他发现他过去认为n＝41和n＝47时是完全数是错误的。

欧拉定理和他发现的第8个完全数的方法，使完全数的研究发生了深刻变化，可是，人们仍不能彻底解决“梅森猜测”。

1876年，法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明n＝127时确实是一个完全数，这使“梅森猜测”之一变成事实，鲁卡斯的新方法给研究完全数者带来生机，同时也动摇了“梅森猜测”。因数学家借助他的方法发现猜测中n＝67，n＝257时不是完全数。

在以后1883——1931年的48年间，数学家发现“梅森猜测”中n≤257范围内漏掉了n＝61，89，107时的三个完全数。

至此，人们前仆后继，不断另辟新路径，创造新方法，用笔算纸录，耗时二千多年，共找到12个完全数，即n＝2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2n－1(2n－1)是完全数。

笛卡儿曾公开预言：“能找出的完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事。”

历史证实了他的预言。

从1952年开始，人们借助高性能计算机发现完全数，至1985年才找到18个，多么可怜!

等待揭穿之谜

迄今为止，发现的30个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测：存不存在奇数完全数。

1633年11月，法国数学家笛卡儿给梅森一封信中，首次开创奇数完全数的研究，他认为每一奇完全数必具有PQ2的形式，其中P是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他死时未能找到，而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇完全数。它成为世界数论又一大难题。

虽然，谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家研究计算，有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完全数的话，那么它一定是非常大的。

有多大呢?远的不说，当代大数学家奥尔检查过1018以下自然数，没有一个奇完全数；1967年，塔克曼宣布，如果奇完全数存在，它必须大于1036，这是一个37位数；1972年，有人证明它必大于1050；1982年，有人证明，它必须大于10120；……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。

对奇完全数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻!

关于完全数还有许多待揭之谜，比如：完全数之间有什么关系?完全数是有限还是无穷多个?存在不存在奇完全数?

人们还发现完全数的一个奇妙现象，把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是1。例如，对于28，2＋8＝10，1＋0＝1；对于496有，4＋9＋6＝19，1＋9＝10，1＋0＝1等等。这一现象，对除6外的所有完全数是否成立?

以上这些难题，与其他数学难题一样，有待人们去攻克。尽管我们现在还看不到完全数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律。探索自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标。