用伪逆矩阵法构建光谱：《高等色度学》成果！

当多光谱成像系统各个通道的光谱灵敏度特征矩阵G 确定以后，就可以据此搭建多光谱成像的硬件系统，并实现对目标的原始光谱图像立方体的采集。但是原始光谱图像立方体中得到的是各个光谱通道的响应值D，它还需要经过光谱估计矩阵F 的变换才能得到真实的光谱图像数据立方体。

理论上，可以直接对光谱特征矩阵G 求逆(i＝k)或伪逆(i≠k)，并求得G 的逆向变换矩阵即光谱估计矩阵F。由于实际多光谱成像系统的，因此需要求G 的伪逆。目前已有的伪逆求解方法主要包括直接伪逆法、奇异值分解法、QR(正交三角)分解法等。这些算法都可以利用数值计算工具软件Matlab 进行。

1.直接伪逆法

由于多光谱成像系统的通道灵敏度是经过优化的，即基函数之间是线性无关的，因此可以认为光谱特征矩阵G 为行满秩矩阵，所以G·GT 为可逆方阵，于是F 可直接由式(9－13)求得:

关于直接伪逆的求法，可以参照Matlab 里的函数pinv(A)。

2.奇异值分解法

在Matlab 中对光谱特征矩阵G 采用奇异值分解法(Singular Value Decomposition，SVD)，也可以得到它的伪逆，即

其中，U、V 是正交阵；S 是对角阵。(www.xing528.com)

考虑到正交矩阵的逆等于其转置；对角矩阵的逆等于其非零元素求倒数；因此将(9－14)S 中的非零元素求倒数得到T，结果得到光谱估计矩阵F:

3.正交三角分解法

对光谱特征矩阵G 采用正交三角分解法分解得到

式中，Q 是正交矩阵；R 是非奇异上三角矩阵。

考虑到正交阵的逆等于其转置；上(下)三角矩阵的逆也仍然是上(下)三角矩阵，结果得到光谱估计矩阵F:

其中，*号表示对矩阵中的非零元素求倒数。