稀疏表示和K-奇异值分解在信号恢复和字典训练中的应用

Donoho 等人[220]在2006年提出了压缩传感理论，首先使用低于奈奎斯特采样定理所要求的频率对原始信号进行采样，然后再根据信号的采样压缩表示恢复重建出原始信号。信号越稀疏，对恢复准确的信号就越有利。围绕稀疏表示的研究，一直都是众多学者关注的焦点。Candes 和Tao 提出了可以恢复具有幂次定理衰减速度的信号[222，223]。框架方法(Method of Frames，MOF)提供了在完备的字典中寻找信号最优分解的方法[225]。Peyre 把变换基是正交基的条件扩展到了正交基字典[225]。1993年Mallat 和Zhang 首次提出超完备冗余函数库[226]，它的一个突出优点就是图像信号的表示是可以随着冗余字典的变化而变化的，即可以自适应地表示图像信号，具有更加灵活的特性。Michal Aharon、Michael Elad 等人提出的K－奇异值分解(K－Singular Value Decomposition，K－SVD)是一种经典的字典训练算法[227]。它基于奇异值分解，交替迭代利用当前字典求样本的稀疏表示、利用稀疏系数更新字典两个过程，达到了很好的收敛速度。

在重构算法方面，Candes 等人使用迭代交替投影到凸集，然后快速求解线性规划问题而恢复信号，提高解的质量[222，228]。Tropp 和Gilbert 等用匹配追踪(Matching Pursuit，MP)和正交匹配追踪(Orthotropic Matching Pursuit，OMP)来重构信号，提高了求解速度[229]；Do 等人提出了对特别稀疏的信号性能较高的树型匹配追踪算法[230]；Sarvotham 等人提出所谓的“sudocodes”和“belief propagation”的信号重构算法[231，232]，前者对精确重构信号所需的采样点数量进一步降低，后者重构信号时计算复杂度不受信号稀疏分解的限制，只与信号的长度有关。

在应用方面，Rice 大学率先开展了压缩感知成像的应用研究，成功设计出“单像素相机”[233]，引起了世界范围的关注。杜克大学提出了孔径编码压缩成像方案，下一节有详细的介绍。(www.xing528.com)

我国在压缩感知领域也有多年的研究，特别在雷达、核磁共振等方面的应用做了大量和深入的工作[234－236]。在光学成像方面，文献[237]实现了压缩感知光学雷达对真实目标的成像，文献[238]进行了压缩感知在红外成像方面的研究，文献[239]利用高光谱图像的谱间相关性提出了基于谱间预测的压缩感知算法。