连续性方程及应用-通识物理

在上一节的内容中，我们已经建立了一个研究理想流体力学性质的物理模型——“一根做定常流动的流管”。接下来，我们就一起通过这根“流管”来推导理想流体的第一个重要性质：理想流体的“连续性方程”。

相信每个读者都有过这样的体会：当我们用一根橡胶管浇水时，如果捏住管口，水的喷射速度就会增加，捏得越紧，水的喷射速度也就会越大，喷得也越远，这是为什么呢？其实，当我们打开自来水后，只要不再去转动自来水的阀门，水管内的水流就属于近似的“定常流动”（图5.3）。这时，流管内各处的物理性质近似不变，水管中的水可以近似为圆柱体，且单位时间t 内从管内流出的水柱体积V 是恒定的，由于圆柱体体积等于圆柱体底面积乘以圆柱体的长度（V=Sl），所以这时水柱的底面积S 和长度l 成反比。显然，水柱底面积S 越小，也就是水管越细，在单位时间t 内喷射出的水的长度l 越长，水流的喷射速度v 越大。由此看来，水管的截面积S 与水流的喷射速度v 应该具有相反的变化趋势，而这个变化关系所体现的物理规律，就是理想流体的“连续性方程”，其数学表达式为：

图5.3　连续性方程的前提是定常流动

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这个式子表明：当理想流体做定常流动时，流管截面积S 与理想流体速率v 的乘积是一个恒量，或者说流管截面积S 与理想流体流速v 成反比。由于连续性方程的推导前提是“定常流动”，尤其是要求流量恒定，因此“连续性方程”也常常被人们看作是“质量守恒定律”在流体力学中的具体表现形式。

连续性方程不仅简单易懂，而且在我们的日常生活中十分常见。比如，在花园给植物浇水时，为了能让管子里的水喷射更远的距离，园丁常常将管头扎得较紧，在流量恒定的情况下，通过减小流管截面积S，来增加水的喷射速度v，从而加大水的喷射距离l。除了用水管喷水，我们打开家中的自来水，或者在倒水时，也会发现水流从上往下逐渐变细。这是因为水在重力的作用下逐渐加速，所以越是下方的水流速度较大，从而导致相对较小的流管截面积，使水流看起来从上往下逐渐变细。

连续性方程不仅可以解释水管这类小尺寸的模型，在自然界的大江大河中也有充分的体现。比如，兰州是中国唯一一座黄河穿城而过的美丽城市，在黄河兰州段由于河道宽阔，水流较为平稳，所以在白塔山畔、中山桥下，人们划着简易的羊皮筏子就能轻易渡河；但是，当黄河流入陕晋交界的壶口时，河道突然变得十分狭窄，河水在连续性方程的作用下，具有极快的流速，显得汹涌澎湃，不仅渡河较难，还能形成“壶口瀑布”的黄河奇观。

连续性方程还可以说明人体内血液循环过程中血流速度的变化情况。比如，在日常生活中我们有时会不小心被刀具割伤，如果是手腕、颈部等关键部位的动、静脉血管被割伤，就会出现“血流如注”的情况，甚至会危及生命；但是如果只是伤及表皮或者肢干的毛细血管，那么出血的情况就会大为缓解，甚至不用处理伤口也可能自然凝固。那么，同样是出血，为什么会产生这样的差异呢？尤其难以理解是：动脉比毛细血管粗，所以根据连续性方程，动脉中的血液流速应该较小，但为什么动脉出血反而会出现“喷射”的糟糕状况呢？原来，心脏虽然是周期性收缩和舒张的，但由于血管具有很好的弹性，所以血液循环仍然可以看作是“定常流动”，可以满足理想流体的连续性方程规律。从主动脉到小动脉再到毛细血管，虽然单枝血管的截面积在逐渐减小，但由于数量急剧增加，血管的总截面积却是逐渐增大的，所以从主动脉到毛细血管中的血流速度是减小的；而从毛细血管到静脉则刚好相反，单枝血管虽然会变粗，但总截面积又会逐渐减少，所以血流速度是逐渐加快的。总体上看，正是各类血管总截面积的差异，才导致了动静脉和毛细血管会呈现出不同的出血症状。