通识物理：转动惯量及其分析

牛顿运动定律就是针对物体平动的运动规律，根据牛顿第一定律，我们知道任何平动的物体都有惯性。其实，转动中的物体也有惯性，比如：断电的风扇并不会立即停止转动，还会继续转动一段时间。也正是因为“惯性”的作用，拨动后的篮球可以在指尖持续旋转，转动的陀螺在施加的力撤去后可以继续转动等等。结合生活中的这些常识，我们就可以确切地说：转动的物体也有惯性。但是，正如牛顿运动定律中把质量作为衡量物体惯性大小的物理量；那么，在转动的运动形式中，质量还能衡量物体转动的“惯性”大小吗？

为了很好地回答这个问题，让我们首先来看这样一个实验吧（请参考本书的配套慕课视频）：如图3.2 所示，我们在两个完全相同的塑料圆筒中，填入相同质量的黏土，其中一个做成实心状，另一个做成空心状。虽然黏土的形状不同，但两个圆筒的总质量是完全一致的。从斜面上物体的受力分析看，这两个圆筒在斜面上受到的重力分力也是一样的，根据牛顿第二定律（F =ma），当受力F 和质量m 都相等时，两个圆筒应该具有相同的运动加速度a，可事实真的是这样的吗？接下来，我们将这两个圆筒放置在同一个斜面上，从相同的高度同时释放。正如在配套慕课视频中展示的那样，我们会看到两个圆筒都会沿斜面滚下，但却快慢不一，滚得慢一些的是空心圆筒，而快一些的则是实心圆筒。

图3.2　滚筒实验

乍一看，这个实验现象似乎是很难理解的。因为，根据牛顿第二定律，在受力和质量都完全相同的情况下，圆筒运动的加速度也应该相同，所以不会出现运动的快慢差异。可是在这个实验中，圆筒怎么会出现一快一慢的情况呢？其实，如果有读者注意到这个实验必须用到“圆筒”，那就一定能发现这个实验现象产生的关键原因在于：圆筒的运动形式是转动，而不是平动。在转动中，质量不再是物体运动惯性的量度，所以牛顿第二定律并不适用于分析转动情况下的物体运动。

图3.3　滚筒的质量分布差异(www.xing528.com)

那么在转动时，衡量物体“转动惯性”大小的物理量究竟是什么呢？在这里，我们还是要从“圆筒实验”来分析。显然，对于前面的圆筒实验，两个圆筒唯一的区别就是黏土的“实心”和“空心”分布。我们注意到：如图3.3 所示，实心圆筒中黏土较为靠近转轴，质量分布相对转轴的距离r 较小。由于实心圆筒滚动得快些，所以具有较小的转动惯性；相反，空心圆筒中黏土远离转轴，质量分布相对转轴的距离r 和转动惯性都较大，所以滚动得慢一些。这个实验结果清楚地表明：衡量物体转动惯性大小的物理量不是质量，而是与质量和质量分布都有关系的一个“综合作用”。其实，这个“综合作用”就是一个全新的物理量——“转动惯量”，物体的转动惯量一般用大写字母J 来表示，其数学表达式如式子3.2所示：

式中，m 表示某个物体或者单质点的质量，而r 则表示物体质心或者单质点到转轴的距离。从这个式子我们可以看出：物体转动时的惯性大小即“转动惯量”除了与质量有关，还与物体质量的分布以及其到转轴的距离有关。显然，对于前面的圆筒实验，实心圆筒中黏土的质量分布较为靠近转轴即r 较小，而空心圆筒中的质量分布离转轴更远即r 较大，所以相对于实心圆筒，空心圆筒具有更大的转动惯量。而对物体的运动来讲，较大的“惯性”通常意味着较小的运动“加速度”（角加速度α），所以空心圆筒比实心圆筒滚动得要慢一些。

我们在前面曾经提到“转动中的力矩M 等效于平动中的力F”，而现在我们了解到“转动中的惯性J（转动惯量）等效于平动中的惯性m（质量）”。再更进一步地，转动中的角加速度α 对应于平动中的加速度a。说到这里，一定有读者已经发现：如果我们把牛顿第二定律中的三个“平动量”，相应地改写为“转动量”，我们就会得到牛顿第二定律在转动中的新表现形式，也就是“转动定律”：“在相同力矩M 的条件下，物体转动的角加速度α 与转动惯量J 成反比”，其数学表达式如式子3.3所示：

从“转动定律”的表达式可以看出：虽然牛顿第二定律在转动模型中失效了，但它所蕴含的物理思想并没有失效，只是有了新的表现形式。其实，不仅牛顿第二定律，在接下来的学习中，我们会发现还有很多本来用以描述平动的物理量和物理定律，在转动模型中也穿上了新的“衣裳”，请本书的读者一定要擦亮眼睛哦。