物质波：驻波现象及数学工具

在元素的光谱中只出现某些特殊的波长，这一情况我们怎样来理解呢？

在物理学上往往因为通过在表面上互不相关的现象之间进行一致的类比，结果竟取得很重要的进展。在本书中，我们也常常看到在某一科学分支上建立和发展起来的概念，后来就被成功地应用于其他分支。机械观和场论的发展中有很多这类例子。将已解决的和未解决的问题联系起来也许可以想到一些新概念来帮助我们解决困难。很肤浅的类推是容易找到的，但它们实际上不说明任何问题。有些共同的特性却隐藏在外表上的差别的背后，要能发现这些共同点，并在这基础上建立一个新的理论，这才是重要的创造性工作。由德布罗意（De Broglie）和薛定谔（Schrödinger）创始的所谓“波动力学”的发展，就是用这种深刻的类推方法而得出极为成功的理论的一个典型例子。

我们的出发点是一个与现代物理学完全无关的经典例子。我们握住一根极长的软橡皮管（或极长的弹簧）的一端，有节奏地做上下摆动，于是这一端便发生振动。这时，像我们在许多例子中所见到的一样，振动产生了波，这种波以一定的速度通过橡皮管而传播。假设橡皮管是无限长的，那么，波一旦出发，就会毫无阻碍地继续它们无止境的旅程。

再看另一个例子。把上面所说的橡皮管两端都固定起来。假如你喜欢，用提琴的弦也可以。现在如果在橡皮管或琴弦的一端产生了一个波，将会发生什么样的情况呢？和前面的例子中一样，波开始它的旅程，但很快就被另一端反射回来。现在我们有两种波，一种是由振动产生的，另一种是由反射产生的；它们向相反的方向行进而且互相干涉。追踪这两种波的干涉现象并发现它们叠加而成的一种波并不困难，这种波被称为驻波。“驻”和“波”两个字的意义似乎是相互矛盾的，然而这两个字联合起来正说明它是两种波叠加的结果。

图71

驻波的最简单的例子是两端固定的弦的一上一下的运动，如图72所示。这个运动是当两个波朝相反的方向行进时有一个波覆在另一个波上面的结果。它的特点是只有两个端点保持静止。这两个端点叫作波节。驻波就驻定在两个波节之间，弦上所有各点都同时达到它们的偏移的最大值和最小值。

但这只是驻波的最简单形式，还有其他形式的驻波。例如，有一种驻波可以有三个波节，两端各一个，中央一个。在这种情况中，有三点永远保持静止。从图73可以看到，这里的波长比图72中只有两个波节的短一半。同样，驻波可以有四个、五个甚至更多的波节，其波长与波节的数目有关。波节的数目只能是整数而且只可以跳跃式地改变。“驻波波节的数目等于3.576”这样的说法显然是没有意义的。这样，波长只能不连续地变化。在这个最经典性的问题里，我们看出了量子理论的著名特色。提琴上所产生的驻波实际上更为复杂，它是许多具有两个、三个、四个、五个甚至更多个波节的波混合而成的，也就是说，它是许多不同波长的波的混合体。物理学可以把这样的混合体分解为组成它的简单驻波。或者，用我们以前的术语，我们可以说，振动的弦如同一种元素发出辐射一样，有它自己的谱。正如元素的光谱一样，它只可以有一些特定的波长，其他的波长是被禁止的。

图72

图73(www.xing528.com)

图74

因此，我们发现了振动的弦和发出辐射的原子之间的某些相似性。这个类比似乎很奇怪，但既然选择对其进行类比，就让我们从这个比喻中得出进一步的结论，并对其进行比较。

每一元素的原子都是基本粒子组成的，重粒子组成原子核，轻粒子就是电子。这样一个粒子体系的行为正和产生驻波的一个小乐器一样。

然而，驻波是两个或更多个行波之间发生干涉的结果。假使我们的比拟有几分真实，那么在传播中的波就应当有比原子更简单的排列方式。什么东西排列得最简单呢？在我们的物质世界中，没有什么东西比不受任何力作用的基本粒子——电子更简单了，所谓不受外力作用的电子就是静止的或做匀速直线运动的电子。我们可以在这个比拟的链条中再猜出新的一环来：将匀速直线运动的电子比作一定波长的波。这就是德布罗意的新的大胆创造的观念。

以前曾经指出过，在某些现象中，光显示出波动性，但在另一些现象中，光显示出微粒性。在已经习惯于用光是一种波的观念以后，发现光在某些场合中（例如在光电效应中）的行为像一阵光子，就会感到很惊奇。对于电子，我们现在的情况正好和这相反。我们已经习惯于用电子是粒子、电和物质的基本量子的观念了。它的电荷和质量也已经被测出。如果德布罗意的观念有几分真实性的话，那么物质就应该在某些现象中显示出波动的性质。这个结论是根据声学上的类比而得出的。乍一看好像是奇怪而难以理解的。运动的微粒怎么会和波发生任何关系呢？但是这一类的困难在物理学中已碰到过不止一次了。在研究光的各种现象中，我们也遇到过同样的问题。

在建立一个物理学理论时，基本观念起了最主要的作用。物理书中充满了复杂的数学公式。但是所有的物理学理论都是起源于思维与观念，而不是公式。在观念以后应该采取一种定量理论的数学形式，使其能与实验相比较。这可以用我们目前在讨论的例子来说明。主要的一个猜想是：匀速运动的电子在某些现象中的行为和波类似。假设一个电子或一群电子（其中所有的电子具有相同的速度）匀速地运动，每一个单电子的质量、电荷和速度都是已知的。如果我们想以某种方式把波的概念和匀速运动的电子联系起来，那就必须提出下一问题：波长是多少？这是一个定量的问题，应该建立一个多少带有定量性质的理论来回答这个问题。事实上，这个问题很简单。德布罗意在他的著作中给出了这个问题的答案，其数学上的简单性是最令人惊奇的。在他的工作完成时，其他物理学理论的数学手法，相对说来就深奥和复杂得多了。在物质波的问题中所用的数学工具非常简单和浅近，但基本观念却极为深奥。

前面在讨论光波和光子时曾指出过，每一句用波动说的语言来表达的话，都可以被翻译成为光子说或光的微粒说的语言。电子波也是如此。用微粒说的语言来表达匀速运动的电子大家都很熟悉了。但每一句用微粒说的语言来表达的话，和光子的情况一样，都可被翻译为波动说的语言。有两个线索暗示着翻译的法则。一个线索是光波和电子波之间或光子和电子之间的类比。我们试图将对于光的翻译方法同样用之于实物。狭义相对论提供了另一个线索：自然定律对于洛仑兹转换应该是不变的，而不是对于经典变换是不变的。这两个线索合起来便决定了对应于运动电子的波长。例如以每秒10000英里的速度运动着的一个电子，其波长很容易被计算出来，它与X射线处于同一波长范围内，这一结果与理论相符。由此可进一步得出结论：如果物质的波动性可以被检测出来，则所用的实验方法必定和检察X射线的波动性的方法相似。

设想有一电子束以一定的速度做匀速运动，它（或者用波动说的术语来说，有一均匀的电子波）打到非常薄的晶体上，晶体起着衍射光栅的作用。晶体中的衍射障碍物之间的距离小到可以使X射线产生衍射现象。因此，对于波长的数量级与X射线相同的电子波，我们可以预期它也会有同样的效应。照相底片应当记录下电子波通过晶体薄层的这种衍射。实验真切地证明了这个理论的无可怀疑的重大成就：电子波的衍射现象。比较一下附图Ⅲ中的照片，我们可以看到电子波衍射和X射线衍射之间的相似性是极为明显的。我们知道，这种图可以用来决定X射线的波长，对于决定电子波的波长也具有同样好的功用。衍射图样显示出物质波的波长，也显示出理论与实验在定量方面的完全相符，这就完满地确认了我们所做的一连串论证。

这个结果使得我们以前所遭遇的若干困难扩大并加深了。只要举一个例子便能明白，这个例子与讨论光波时所用的例子相似。一个电子射到一个很小的针孔上时，将像光波那样发生偏转。照相底片上显示出光环与暗环。也许有几分希望可以用电子和针孔边缘的相互作用来解释这现象，虽然这样解释似乎把握不大。但是，在两个针孔的情况下将怎样解释呢？出现的是光带而不是光环。为什么有另外一个小孔存在就使效应完全变样了呢？电子是不可分裂的，它似乎只能穿过两个小孔当中的一个。电子在穿过一个小孔时怎么会知道在某些距离之外还存在着另一个小孔呢？

以前我们问过：光是什么？它是一阵粒子还是一个波？现在我们要问：物质是什么，电子是什么？它是一个粒子还是一个波？电子在外电场或外磁场中运动时的行为像粒子，但在穿过晶体而衍射时的行为又像波。对于物质的基本量子，我们又遇到了在讨论光量子时所遇到的同一困难。科学的现代发展中所发生的最基本的问题之一是：怎样把物质和波这两种对立的观点统一起来。这是基本困难之一，一旦被解决，从长远看来一定会促使科学进步。物理学正努力解决这个问题。现代物理学目前所提出的解是暂时的还是最终的解，后世一定会做出判断。