时空连续区的表示：物理学的进化

“法国大革命于1789年7月14日在巴黎开始。”这句话说出了一个事件的空间和时间。对于一个初次听到这句话并不懂“巴黎”是什么意思的人，你可以告诉他：这是位于我们的地球上东经2°、北纬49°的一个城市。用这两个数就能够确定这个事件发生的地点，而“1789年7月14日”则是事件发生的时间。在物理学中，准确地表示一个事件发生的地点与时间比在历史中更重要，因为这些数据是定量描述的根本。

为简单起见，我们在前面只考察了直线运动。我们的坐标系是一根有起点而无终点的坚硬的杆。我们暂且保留这个限制。我们在杆上取不同的点；它们的位置都只能够用一个数来表示，即应用点的坐标。说一点的坐标是7.586英尺，就是说，它与杆的起点的距离为7.586英尺。反过来说，假如有人给我一个任意的数和一个量度单位，我总能够在杆上找到和这个数相对应的一点。我们可以说：杆上一个确定的点与每一个数相对应，而一个确定的数则与每一点相对应。对于这件事，数学家是用下面这个句子来表达的：杆上所有的点构成了一个一维连续区。在杆上的每一给定点的无论怎样近的地方都有一个点。我们在杆上可以用许多任意小的距离来把两个相距遥远的点连接起来。连接相距遥远的两点的各个距离可以任意小，这便是连续区的特征。

再举一个例子。假设有一个平面，你若喜欢以一件具体的东西为例，则假设有一个长方形的桌面（图58）。桌面上的一点的位置可以用两个数来表示，而不像前面那样只用一个数来表示。这两个数便是这个点与桌的两条相互垂直的边的距离。和平面上的每一点相对应的不是一个数，而是一对数：一个确定的点都有一对数跟它相对应。换句话说：平面是一个二维连续区。在平面上的每一给定点的无论怎样近的地方都有别的点。两个相距遥远的点可以用一根曲线分成的任意小的距离把它们连接起来。因此，用任意小的距离连接两个相距遥远的点，每一点都可以用两个数来代表，这就是二维连续区的特征。

图58

再举一个例子。设想你要把你的房间看作你的坐标系。这就是你想关联于房间的墙来描述所有的位置。如果一盏灯是静止不动的，这盏灯的位置可以用三个数来表示（图59）：两个数决定它与两个相互垂直的墙的距离，而第三个数则决定它与天花板或地板的距离。三个确定的数与空间的每一点相对应，空间中一个确定的点与每三个数相对应。这可以用下面的一句话来表达：我们的空间是一个三维连续区。在空间的每一给定点的非常近的地方还存在着许多点。连接相距遥远的点的距离可以任意小，而每一个点都用三个数来代表，这就是三维连续区的特征。

图59

但是，上面所讲的几乎都不是物理学。现在再回到物理学上来，我们必须考察物质粒子的运动。要观察并预言自然界中的现象，我们不仅应考察物理现象发生的位置，还要考察它发生的时间。我们再来举一个很简单的例子。

一个小石子，现在把它看作一个粒子，从塔上落下来。假设塔高256英尺。从伽利略时代起，我们就能预言石子开始落下以后在任何时刻的坐标。下面是说明石子在0、1、2、3、4秒后的位置的“时间表”。

在我们的“时间表”中记载着五个事件，每一个事件用两个数，即每一个事件的时间和空间坐标来表示。第一个事件是石子在0秒时从离地256英尺处石子的下落。第二个事件是石子与我们坚硬的杆（塔）在离地240英尺处相重合，这发生在第1秒之后。最后的事件是石子与地面相接。

我们可以用不同的方式来表示从这个“时间表”中所得到的知识。我们可以将“时间表”中的五对数字表示为平面上的五个点。首先确定一种比例尺。例如，像图60那样，一段线表示100英尺，而另一段线表示1秒。

图60

然后画两根垂直的线，把水平线作为时间轴，竖直线作为空间轴。我们立刻看到“时间表”可以用时—空平面中的五个点来表示（图61）。

离空间轴的距离代表“时间表”第一行中所指出的时间坐标，而离时间轴的距离则代表空间坐标。

用“时间表”来表示和用平面上的点来表示，方式虽然不同，但效果完全一样。每一种方式都可以根据另一种做出来。在这两种表示方式之中应选择哪一种，只不过是随人所好而已，因为实际上它们是等效的。

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图61

让我们再前进一步。设想有一个更好的“时间表”，它不是记出每一秒的位置，而是记出每百分之一秒或千分之一秒的位置。这样在我们的时—空平面上便会有许多点。最后，如果对每一时刻记出位置，或者如数学家所说，把空间坐标表示为时间的函数，那么这些点的集合便成为一根连续的线。因此，像图62那样，这个图所代表的不是过去那样零碎的知识，而是石子运动的全部知识。

图62

沿着坚硬的杆（塔）的运动，也就是在一维空间中的运动，在这里是用二维时—空连续区中的一根曲线来表示的。这个时—空连续区中的每一点都有一对数字和它对应。一个数表示时间坐标，另一个数表示空间坐标。反过来说，在我们的时—空连续区中的一个确定的点，与表示一个事件的某一对数字相对应。接邻的两个点代表在稍微不同的两个位置上以及在稍微不同的两个时刻分为两次发生的两个事件。

你或许会用下面的理由来反对我们的图示法：用一段线来代表一个时间单位，把它机械地和空间联系起来，并由两个一维连续区构成一个二维连续区，这是毫无意义的。但是假如你要反对这个办法，那么便要同样有力地反对许多图示，例如表示去年夏季纽约城的温度变化的图、表示近几年来生活费用变化的图，因为这些例子中所用的都是同一种方法。在温度图中，一维的温度连续区和一维的时间连续区结合成一个二维的温度—时间连续区。

让我们再回到从256英尺高的塔上落下来的粒子的问题上。我们把运动画成图是一种很有用的办法，因为它表示在任何时刻粒子的位置。知道了粒子是怎样运动的，我们就能再一次把它的运动画出图来。我们可以用两种不同的方式。

我们记得一种粒子在一维空间中随时间而变化的图。我们把运动画成在一维连续区中连续发生的一系列事件。我们不曾把时间和空间结合起来。我们所用的是动图；在这个图中，位置随时间而变化。

但是我们可以把同样的运动用不同的方式加以描述。我们可以把运动考虑为二维时—空连续区中的曲线而构成一幅静图，现在运动已经由某种东西来代表，它是存在于二维时—空连续区中的某种东西，而不是在一维空间连续区中变化的某种东西。

但是这两个图是完全等效的，爱用这一种或那一种只不过是随人们的习惯与兴趣而已。

以上关于运动的这两种图示法所说的一切都与相对论没有任何关系。两种图示法都可以随便被使用，不过经典物理学比较喜欢用动图，因为动图把运动描绘成空间中所发生的事件，而不是作为存在于时—空中的某种东西。但是，相对论改变了这个观点。它明确地赞成静图，它发现把运动表示为存在于时—空中的某种东西的这个图示法，是关于描述实在的一幅更方便、更客观的图。我们还要回答一个问题：为什么这两张图从经典物理学的观点看来是等效的，而从相对论的观点看来却不是等效的呢？

要明了这个问题的答案，必须再讨论相互做匀速直线运动的两个坐标系。

根据经典物理学，在两个相互做匀速直线运动的坐标系中的观察者对于同一个事件，将选用各自不同的空间坐标，但只用同一个时间坐标。所以在上述例子中，石子和地面接触是用我们所选定的坐标系中的时间坐标“4”和空间坐标“0”来表示的。根据经典力学，相对于我们选定的坐标系做匀速直线运动的一个观察者也会认为石子在4秒之后碰到地面。但是这个观察者却会把距离与他自己的坐标系相联系，而且一般说来，会把不同的空间坐标和石子碰地的事件联系起来，不过他所用的时间坐标跟所有相互做匀速直线运动的其他观察者所用的都是相同的。经典物理学只知道对所有的观察者都是同样流逝的“绝对的”时间。对于每一个坐标系，二维连续区都可以被分解为两个一维连续区：时间与空间。由于时间的“绝对的”性质，在经典物理学中把运动的图从“静图”过渡到“动图”便具有一种客观的意义了。

但是，我们已经确信经典转换不能被普遍地应用于物理学中。从实用的观点看来，它还可以适用于小的速度，但是绝不适用于解决根本的物理问题。

根据相对论，石子跟地面相碰的时间在所有的观察者看来不会是一样的。在两个不同的坐标系中，时间坐标和空间坐标都是不相同的，并且如果两个坐标系的相对速度接近光速，则时间坐标的变化将十分明显。二维连续区不能像在经典物理学中那样被分解为两个一维连续区。在决定另一个坐标系中的时—空坐标时，我们不能把空间和时间分开来考察。从相对论的观点看来，把二维连续区分解为两个一维连续区，似乎是一种没有客观意义的武断的方法。

刚才我们所讲的一切都不难把它推广到非直线运动的情况中。事实上，要描述自然界中的现象，必须用四个数而不是用两个数。从物体及其运动而想到的我们的外在空间具有三个维度，而物体的位置是由三个数来表示的。一个事件的时刻是第四个数。四个确定的数对应于每一个事件，每个确定的事件都有四个数跟它相对应。因此，所有的事件构成一个四维连续区。这一点没有什么神秘之处，上面这句话无论对经典物理学或相对论来说都是同样正确的。但是当我们考察两个相互做匀速直线运动的坐标系时，就又会发现差异。倘若一个房间在运动，房间内、外的观察者要测定同一个事件的时—空坐标。经典物理学家们又会把这个四维连续区分解为三维空间和一维时间连续区。老派物理学家只考虑空间的转换，因为对他们来说，时间是绝对的。他们觉得把四维世界连续区分解为空间和时间是自然而方便的。但是从相对论的观点看来，时间和空间从一个坐标系过渡到另一个坐标系时都是要改变的，而洛仑兹转换就是考察事件的四维世界的四维时—空连续区的转换性质的。

所有的事件都可以被描绘成随时间变化而且投射在三维空间的背景上的动图。但是它们也可以直接被描绘成投射在四维时空连续区的背景上的静图。从经典物理学的观点看来，这两个图——一个动的，一个静的，都是等效的。但是从相对论的观点看来，静图比较方便，而且更符合客观实际。

甚至在相对论中，如果我们喜欢，还是可以用动图的。但是我们必须记住，这样把时间和空间分开来，是没有客观意义的，因为时间不再是“绝对”的了。我们以后还是要用“动”的语言而不用“静”的语言，不过我们得时常记住它的局限性。