有限元分析程序中的总刚度方程构建

单元分析时已经对单元的每个节点建立了平衡方程。例如节点i的平衡方程是：

从式（2-17）可以看出，单元任意节点的位移都将导致节点i产生节点力，从而导致位移。因此节点i的节点力为所有节点位移引起的节点力的叠加。

由于每个节点通常为几个单元共有，因此节点上的节点力为所有单元引起的节点力之和。结构平衡也即节点平衡。假设作用在节点i上的载荷为，那么节点i处的平衡方程为：

将式（2-17）代入上式，得

那么，将此式扩展到整个结构：

简写为：

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式（2-18）记为整个结构的平衡方程，称为有限元方程或刚度方程。

式中　是所有节点的位移分量组成的列阵，称为节点位移列阵；

是所有作用在节点上的荷载组成的列阵，称为节点荷载列阵；

是总刚矩阵，其中每个元素kij的物理意义和单刚元素相同，即在节点j发生单位位移而其他节点位移为零时，在节点i处产生的节点力。

下面举例说明总刚集成过程，如图2-6。中第一个求和表示按节点编号顺序依次形成[K]中的一行。比如节点1，它通过单元①与节点2、3直接相关，但和节点4、5、6不直接相关，因此其中上标表示单元编号。

图2-6　总刚形成

对于节点2，它与除了节点6之外的所有节点相关。例如它和节点3通过单元①、②相关，当节点3产生位移时，它将通过单元①、②在节点2处产生节点力，因此。同理可以得到其他总刚元素。

按照以上方法形成节点3、4、5、6的刚阵元素，得到总刚矩阵：