结构分析有限元程序应用：有限元法概述

有限元法是将弹性力学、计算数学和计算软件相结合从而求解非线性问题的现代计算方法。它的实质是将结构划分为有限多个简单的单元，通过化整为零，再集零为整的思想对复杂问题进行求解。

在求解工程技术问题时，许多力学问题无法求得解析解，因此通过寻求近似解法来给出数值解答。力学中常用的数值解法为有限差分法和有限元法。

有限差分法是首先建立问题的基本微分方程，然后将微分方程化为差分方程（代数方程）求解，这是一种数学上的近似。有限差分法能处理一些物理机理相当复杂而形状比较规则的问题，但对于几何形状不规则或者材料不均匀以及复杂边界条件的情况，应用有限差分法就非常困难，因而有限差分法有很大的局限性。

有限元法把一个连续体划分为有限个微小的单元，单元体通过节点连接，从而把一个具有无限个自由度的连续体简化为有限个自由度的近似数学模型，从而进行类似于结构分析的求解。

有限元法具有以下特点：

（1）以简单逼近复杂，即把原本复杂的求解区域离散为一个一个的单元，在简单的单元中建立公式，然后再合成一个总体，由此逼近真实解。

（2）采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序。

（3）适合求解几何形状复杂的问题。

（4）适应性强、运用范围很广，从弹性力学平面问题到空间问题、板壳问题，从静力平衡问题到动力分析，从固体力学到流体力学，从航空问题到土木工程、机械制造，等等。

有限元法应用范围主要包括线性静力分析、动态分析、热分析、流场分析、电磁场计算、非线性分析、过程仿真。

利用有限元法进行分析计算一般分为三个步骤：

（1）对结构进行离散。离散就是将一个连续的结构划分为有限个单元，从而使连续体转换为由有限个单元组成的组合体。单元与单元之间仅通过节点连接。也就是说，一个单元上的力只能通过节点传递到相邻单元。一般来说，单元划分越细，计算越精确，但计算量越大。因此，有限元分析中的结构已不是原来的结构，而是具有同种材料，由许多单元以一定方式连接起来的离散体。(www.xing528.com)

（2）进行单元分析，其主要目的是建立单元刚度矩阵和单元特性方程。单元分析包括下面三个内容：

①确定单元的位移函数。

对于位移型有限元法，单元的位移方法就是将单元中任意一点的物理量如位移、应力、应变等用单元的节点位移来计算，而单元位移可以表示成节点位移的函数。位移函数选取是否合理，直接影响到有限元分析的可靠性、计算精度以及效率。

②分析单元的力学特性。

在建立了单元的位移函数后，就可以根据几何方程和物理方程求得单元应力和应变。根据应力、应变、位移之间的关系，利用虚位移原理或最小势能原理，建立单元杆端力和杆端位移之间的关系，从而得到单元刚度矩阵。

③计算等效节点力。

结构离散化后，将力等效为通过节点从一个单元传递到另一个单元。但在实际的连续体中，力是从单元的公共边界传递的，因而这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

（3）进行整体分析。

确定每个单元的单元刚度方程后，可以将各单元集合成整体结构进行分析，建立起表示整个结构的整体刚度方程。然后引入结构的边界条件，对方程组进行求解，得到节点位移。再采用选定的节点位移，计算各单元内非节点处的应力和变形。

本章将以平面应力问题的静力分析为例介绍有限元的基本概念和原理。