高等数学：平面曲线弧长计算

（1）弧长的概念

在初等几何中，圆周的长度是用圆内接正多边形的周长来逼近的，当正多边形的边数无限增加时的极限就等于圆周长.现在，我们用类似的方法来建立平面曲线的弧长的概念.设有一条以A、B为端点的弧（图6.17），在弧AB上任取分点：

A=M0，M1，M2，……，Mn-1，Mn =B

将弧AB分成n段，依次连接相邻分点得一条内接折线，如图6.18所示.

设每条弦的长度为则折线长度为

记如果当分点数目无限增加，且λ→0时，折线长度Ln的极限存在，则称此极限值为弧AB的弧长.这时，称这段弧AB是可求长的.

（2）弧长的计算公式

1）直角坐标情形

问题：设弧AB由直角坐标方程

y=f（x） （a≤x≤b）

给出，其中f（x）在区间［a，b］上具有一阶连续导数，即弧AB是光滑曲线，求弧AB的长度S（图6.19）.取横坐标x为积分变量，变化区间为［a，b］，在区间［a，b］上任取一小区间［x，x+dx］，曲线上相应于这个小区间上的一段弧的长度ΔS近似于曲线在点（x，f（x））处的切线上相应的一小段的长度，即

记称为弧长元素.

图6.18

图6.19

以为被积表达式，在区间［a，b］上作定积分，便得所求弧长为

若弧AB的方程为

其中φ（y）在区间［c，d］上有一阶连续导数.类似可得弧AB的长度为

2）参数方程情形

若弧AB由参数方程给出，其中φ（t），ψ（t）在区间［α，β］上具有连续导数.这时，弧长元素为

从而，所求弧的长度为

3）极坐标情形

若弧AB由极坐标方程

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给出，其中ρ（θ）在区间［α，β］上具有一阶连续导数.

由直角坐标与极坐标的关系可得以极角θ为参数的弧AB的参数方程为

于是，弧长元素为

从而可得所求弧的长度为

例6.13 计算对数曲线y=lnx，从x=1到x=2之间一段弧的长度.

解 由于根据式（6.12），所求弧长为

在以上积分中作代换则

例6.14 计算星形线

的全长，如图6.20所示.

解 由于对称性，星形线的全长是它在第一象限内弧长的4倍.在第一象限内由于

图6.20

于是弧长元素为

所以，由式（6.4）得星形线的全长为

例6.15 求心形线ρ=a（1+cosθ）（a＞0）的全长.

解 由对称性，心形线的周长为极轴上方部分弧长的2倍，由于

于是弧长元素为

所以，由式（6.5）得心形线的周长为