高等数学上册第2版-平面图形面积

（1）直角坐标情形

问题1：若图形由连续曲线y=f（x），y=g（x）及直线x=a，x=b所围成，其中0≤g（x）≤f（x），x∈［a，b］，求图形的面积A，如图6.2所示.

取横坐标x为积分变量，它的变化区间为［a，b］，在区间［a，b］上任取一小区间［x，x+dx］.相应于这个小区间上的窄条图形面积ΔA，近似于高为［f（x）-g（x）］、底为dx的矩形的面积（图6.2中的阴影部分），即

图6.2

ΔA≈［f（x）-g（x）］dx

从而面积元素

dA=［f（x）-g（x）］dx

把面积元素作为被积表达式在区间［a，b］上作定积分，便得面积A.

以上假定了曲线y=f（x）与y=g（x）都在x轴的上方，若曲线y=f（x）与y=g（x）都不完全在x轴的上方，但是满足

g（x）≤f（x）， x∈［a，b］

如图6.3所示，则式（6.3）仍然成立.

问题2：区域的边界曲线由变量y的函数表示，如图6.4所示.它是由连续曲线x=φ（y），x=ψ（y）及直线y=c，y=d围成，其中φ（y）≤ψ（y），y∈［c，d］，求图形的面积A.

图6.3

图6.4

此时取y为积分变量，变化区间为［c，d］，用类似的方法可得

例6.1 计算曲线y=6-x2与y=3-2x所围成图形的面积A，如图6.5所示.

解 为了具体定出图形所在的范围，先求出两曲线的交点.

为此，解方程组

得到交点（-1，5）与（3，-3）.取横坐标x为积分变量，则变化区间为［-1，3］，根据公式（6.3），得

图6.5

图6.6

例6.2 计算由曲线xy=1（x＞0）与直线y=x，y=2所围成图形的面积A，如图6.6所示.

解 先求出各曲线与直线的交点，解方程组：

得交点（1，1），（，2）（2，2）.由图可见，若取x为积分变量，则x的变化区间为由于x＜1与x＞1的面积元素不同，所以被积表达式也是不同的，这就会给计算带来麻烦.因此，取y为积分变量，那么y的变化区间为［1，2］，这时曲线xy=1要表示成直线y=x表示成x=y.根据公式（6.4），得

选x作为积分变量的情形，读者自行考虑.

由此例可知，在同一问题中有时可以选择不同的积分变量来进行计算，如果积分变量选择得适当，就可以使计算变得简便.

例6.3 计算椭圆所围成图形的面积，如图6.7所示.

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图6.7

解 由于椭圆关于两坐标轴都对称，所以只要算出第一象限部分的面积A1后再乘以4，即得椭圆的面积A，即

这里利用椭圆的参数方程计算比较方便.

应用定积分换元法，设x=acost，则

y=asint， dx=-asintdt

当x=0时，t=；当x=a时，t=0.

于是

一般地，当曲边梯形的曲线y=f（x）（f（x）≥0，x∈［a，b］）由参数方程给出时，若曲边的起点和终点分别对应参数值α和β，即φ（α）=a，φ（β）=b，且x=φ（t）具有连续导数，则曲边梯形的面积为

（2）极坐标情形

有些平面图形用极坐标来计算它们的面积比较方便.

问题1：设极坐标的曲线方程为ρ=φ（θ）（α≤θ≤β），其中φ（θ）在区间［α，β］上连续.求由曲线ρ=φ（θ）及射线θ=α，θ=β所围成图形（曲边扇形）的面积A，如图6.8所示.

取极角θ为积分变量，它的变化区间为［α，β］，在区间［α，β］上任取一小区间［θ，θ+dθ］，相应于［θ，θ+dθ］上的小曲边扇形的面积ΔA近似于半径为ρ=φ（θ）、中心角为dθ的圆弧扇形面积，即

从而得面积元素把它作为被积表达式在区间［α，β］上作定积分，便得曲边扇形的面积A，即

问题2：若平面图形由连续曲线ρ=φ（θ）、ρ=ψ（θ）及射线θ=α、θ=β围成时（图6.9），其中φ（θ），ψ（θ）在区间［α，β］上连续，求其面积A.

图6.8

图6.9

从图形可以看出，该图形的面积为曲线ρ=φ（θ）、ρ=ψ（θ）分别与射线θ=α、θ=β围成曲边扇形面积之差，即

例6.4 计算双纽线ρ2=a2cos2θ （a＞0）所围成图形的面积A，如图6.10所示.

解 由于此图形关于x轴和y轴都对称，所以只要计算出第一象限部分的面积后再乘以4即得所求图形的面积A.根据式（6.6），得

例6.5 计算在圆ρ=3cosθ内，心形线ρ=1+cosθ外的那部分图形的面积A，如图6.11所示.

图6.10

图6.11

解 联立解方程组

得到圆与心形线交点处的极角由于图形关于x轴对称，只需算出x轴上方图形的面积后再乘以2即得所求图形的面积A.根据式（6.7），得