高等数学：学习定积分的元素法

利用定积分来解决实际问题，首先要知道什么样的问题能用定积分来解决.由定积分的定义可知，可用定积分来表达的量I需要符合下列3个条件：

①所求量I是与一变量x的变化区间［a，b］及定义在该区间上的函数f（x）有关的量.

②所求量I对区间［a，b］具有可加性，即如果把区间［a，b］分成许多小区间［xi-1，xi］（i=1，2，3，…，n），则所求量I相应地分成许多部分量ΔIi（i=1，2，3，…，n），而总量I等于各部分量之和，即

③部分量ΔIi可以求近似值，且可表示为ΔIi≈f（ξi）Δxi.

然后要掌握把一个实际问题表示成定积分的方法，经常采用的是所谓的元素法.为了说明这种方法，先回顾一下5.1节中例5.1讨论过的曲边梯形的面积问题.

设以连续曲线y=f（x）（f（x）≥0）为曲边、底为区间［a，b］的曲边梯形的面积为A，把这个面积A表示为定积分的步骤是：

①用分点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn将区间［a，b］任意分成长度为Δxi（i=1，2，…，n）的n个小区间［xi-1，xi］（i=1，2，…，n），相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，设其面积为ΔAi（i=1，2，…，n），从而有

②在小区间［xi-1，xi］上任取一点ξi，计算ΔAi的近似值，即

③把每个ΔAi的近似值加起来，得A的近似值，即

④求极限，得A的精确值，即

这四个步骤概括起来说，就是分割、近似、求和、逼近.实际上，在这四个步骤中，最关键的是第二步.只要能正确地写出

ΔAi≈f（ξi）Δxi

则面积A的定积分表达式就可以立即写出来，即

在实际中，为了简便起见，省略下标符i，用区间［a，b］上的任一小区间［x，x+dx］来代替［xi-1，xi］，用ΔA表示对应区间［x，x+dx］上的小曲边梯形面积，取区间［x，x+dx］的左端点为ξ，即取ξ=x，以点x处的函数值f（x）为高，dx为底的矩形面积f（x）dx作为ΔA的近似值，（图6.1中的阴影部分），即

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图6.1

ΔA≈f（x）dx

于是

一般地说，把实际问题的所求量I表示为定积分的步骤可简化为如下两步：

①根据问题的具体情况选取适当的积分变量，例如x，并确定它的变化区间［a，b］；在区间［a，b］上任取一小区间［x，x+dx］，选择函数f（x），使得函数f（x）在x处的值与小区间长度dx的乘积近似等于相应于这个小区间上部分量ΔI的值，即ΔI≈f（x）dx.把f（x）dx称为所求量I的元素，记为dI.即dI=f（x）dx.

②把所求量I的元素f（x）dx作为被积表达式，在区间［a，b］上积分，即得所求量I的定积分表达式

以上方法叫元素法或微元法.

元素法的关键一步就是求小区间［x，x+dx］上局部量ΔI的近似值.怎样才能求得局部量ΔI所需的近似值？为了说明此问题，我们将分布在区间［a，x］（x∈（a，b］）上的量I记作I（x）.由式（6.1）知

由于f（x）在［a，b］上连续，则I（x）的微分为

而ΔI就是I（x）在区间［x，x+dx］上的增量.

因此，局部量ΔI所需要的近似值就是I（x）的微分，所以根据增量与微分的关系，只要能找到与dx成线性关系且与ΔI之差为dx的高阶无穷小的量dI=f（x）dx，这就是ΔI所需要的近似值.在下面各节中，我们将运用这个方法来解决实际问题.