【摘要】：关于无界函数的广义积分也有类似于无限区间上的广义积分的判别法.由例5.43知，广义积分当q＜1时收敛，q≥1时发散.从而用类似上述定理的证明方法可得到类似于定理5.11及定理5.13的判别法.定理5.15（比较判别法2） 设函数f（x）在区间（a，b］上连续，且+∞，有：（1）如果存在常数M ＞0及q＜1，使得则广义积分收敛；（2）如果存在常数M ＞0及q≥1，使得则广义积分发散.证明从略.解 积
关于无界函数的广义积分也有类似于无限区间上的广义积分的判别法.
由例5.43知，广义积分
当q＜1时收敛，q≥1时发散.从而用类似上述定理的证明方法可得到类似于定理5.11及定理5.13的判别法.
定理5.15（比较判别法2） 设函数f（x）在区间（a，b］上连续，且
+∞，有：
（1）如果存在常数M ＞0及q＜1，使得
则广义积分
收敛；
（2）如果存在常数M ＞0及q≥1，使得
则广义积分
发散.
证明从略.
解 积分上限x=1是被积函数的无穷间断点，因为
上面给出了被积函数在所讨论的区间上为非负的无界函数的广义积分的敛散性判别法.如果被积函数在积分区间上可取正值也可取负值，就要用到下面的定理.(www.xing528.com)
例5.56 讨论广义积分
的敛散性.
解 此积分不仅积分区间为无穷区间，而且当α＜1时，x=0是被积函数的无穷间断点，因此将积分写成
对于积分
，当α≥1时，它是普通积分；当α＜1时，x=0是被积函数的无穷间断点，由于
故由定理5.16可知：当1-α＜1时，即0＜α＜1时，广义积分
收敛；而当1-α≥1时，即α≤0时，广义积分
发散.
对于广义积分
，因为
由定理5.13知，
对一切α都收敛.
综合起来，广义积分
当α＞0时收敛；当α≤0时发散.
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