高数无界函数广义积分

如果函数f（x）在点x0的任一邻域内都无界，则称点x0为f（x）的瑕点，无界函数的广义积分也称为瑕积分.

否则就称广义积分发散.

注意：广义积分的记号与定积分相同，但含义却不一样.

例5.41 计算广义积分.

解 因为

所以点a是被积函数的瑕点，于是有

为了方便起见，也可仿照牛顿-莱布尼茨公式的形式，设F（x）是被积函数f（x）在积分区间上的一个原函数，若记

则式（5.25）、式（5.26）便可记为；而式（5.27）便可记为

例5.42 计算下列广义积分：

解 （1）因为，故点为被积函数的瑕点.

由于

所以，此广义积分发散.

（2）因为，所以点1为被积函数的瑕点.于是

（3）因为，点0为被积函数的瑕点，于是

例5.43 证明广义积分当q＜1时收敛，当q≥1时发散，其中a＜b.

证明 当q=1时，

当q≠1时，(https://www.xing528.com)

因此，当q＜1时，广义积分收敛，其值为当q≥1时发散.

特别地，当a=0，b=1时，上述积分变为于是可知广义积分当q＜1时收敛，其值为当q≥1时发散.

例5.44 讨论广义积分的敛散性.

解 因为，所以x=0是被积函数的瑕点，于是

由例5.43知，发散，故发散.

如果疏忽了x=0是被积函数的瑕点，而按定积分计算，便得到以下错误的结果：

例5.45 计算广义积分.

解 因为，这既是无穷区间上的广义积分，又是无界函数的广义积分.

设=t，即x=t2+1，dx=2tdt.当x=1时，t=0；当x→+∞时，t→+∞.于是

注意：定积分的换元积分法与分部积分法一般都可以用到广义积分中来.

例5.46 计算.

解

例5.47 计算

解 由于被积函数以π为周期且连续，于是有

注意下述解法是错误的：