【摘要】：事实上，可以证明，如果函数f在区间［a，b］上连续，那么，函数f在区间［a，b］上就满足关系式和式.
设一物体作变速直线运动，在时刻t物体所在位置为s（t），速度为v（t）.由5.1节知，如果已知变速直线运动的速度v=v（t），那么，物体从时刻t=a到时刻t=b所经过的路程等于速度函数v（t）在区间［a，b］上的定积分
另一方面，如果已知物体作变速直线运动的位置函数s=s（t），那么，这段路程又等于位置函数s（t）在区间［a，b］上的增量s（b）-s（a）.同是一个物理量——路程，它的两种不同的数学表达自然应该相等，于是有
因为
v（t）=s′（t）
所以
这里虽然说的是变速直线运动问题，但是这个简单的、特殊的现象其实揭示了定积分与微分的辩证关系，考察这现象所导出的结论正体现了积分与微分之间的内在联系.(www.xing528.com)
在式（5.11）中，将积分上限b换为x，得
这里x是任何大于a而小于b的数，这样两边都是x的函数，两边对x求导，得
即
上式表明了积分与微分之间的互逆关系.
对于速度和路程而言，式（5.12）和式（5.13）都成立.但是，舍去速度、路程这些特殊的、具体的内容，它们是否存在普遍性呢？事实上，可以证明，如果函数f（x）在区间［a，b］上连续，那么，函数f（x）在区间［a，b］上就满足关系式（5.12）和式（5.13）.
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