高等数学：定积分的几何意义

对于定积分，可以说变速直线运动的路程是它的很好的物理原型，而平面图形的面积是它的几何直观.

若在区间［a，b］上函数f（x）≥0，则在几何上表示由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积A，如图5.3所示，即=A.若在区间［a，b］上函数f（x）≤0，则由曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形在x轴的下方，如图5.4所示.这时f（ξi）≤0，Δxi＞0，从而f（ξi）Δxi≤0，由定积分的定义知≤0，此时定积分在几何上表示曲边梯形面积A的负值，即=-A.

若函数f（x）在区间［a，b］上变号，则曲线y=f（x）的某些部分在x轴上方，而其他部分在x轴下方，如图5.5所示.于是定积分在几何上表示介于曲线y=f（x），直线x=a，x=b与x轴之间各部分面积的代数和，即

例5.2 用定积分的几何意义计算

解 因为被积函数的图形是圆心在原点、半径为2的上半圆，由定积分的几何意义可知的值等于由曲线与x轴从-2到2一段所围成的半圆形的面积，即

例5.3 利用定义计算定积分(https://www.xing528.com)

解 因为被积函数f（x）=ex在区间［0，1］上连续.由定积分存在的充分条件知，该定积分存在.所以，积分值与区间［0，1］的分法及点ξi的取法无关，即对区间［0，1］的任何分法及对点ξi的任意取法积分和式的极限值都是同一值.为了方便，把区间［0，1］n等分，设分点为，并记x0=0，xn=1，小区间［xi-1，xi］的长度Δxi=xi-xi-1=，取ξi=xi（i=1，2，…，n），于是得积分和式为

记

当λ→0时，n→∞，取和式的极限，得

根据定积分的定义及极限的运算法则，可以推得定积分的下列性质.