高等数学：定积分存在的条件

现在来讨论定积分的存在问题，读者自然要问：可积函数具有什么特征？函数f（x）在区间［a，b］上满足什么条件才可积呢？要回答这两个问题，就需来研究函数可积的必要条件与充分条件.

定理5.1（可积的必要条件） 若函数f（x）在区间［a，b］上可积，则f（x）在［a，b］上有界.

证明 用反证法.假设函数f（x）在［a，b］上无界，则对于区间［a，b］的任意分割

a=x0 ＜x1 ＜x2 ＜… ＜xn =b

函数f（x）至少在一个小区间［xi-1，xi］（1≤i≤n）上是无界的，于是，在［xi-1，xi］上一定可以选取一点ξi，使得|f（ξi）Δxi|任意大，从而可使任意大.这样一来，积分和就不可能有极限，故函数f（x）在［a，b］上不可积.这与函数f（x）在［a，b］上可积相矛盾，所以，函数f（x）在［a，b］上有界.

然而，函数f（x）在［a，b］上有界并不是可积的充分条件.

例5.1 证明狄利克雷（Dirichlet）函数

在任意区间［a，b］上都不可积.

证明 用分点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b将区间［a，b］任意分成n个子区间，若取ξi为小区间［xi-1，xi］（1，2，…，n）中的有理数，则D（ξi）=1.

从而(www.xing528.com)

若取ξi为小区间［xi-1，xi］（1，2，…，n）中的无理数，则D（ξi）=0.

从而

由于积分和的极限分别为b-a和0，所以D（x）在区间［a，b］上不可积.

下面给出可积的充分条件.

定理5.2 若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则函数f（x）在［a，b］上可积.

定理5.3 若函数f（x）在区间［a，b］上有界，且只有有限个间断点，则函数f（x）在［a，b］上可积.

定理5.4 若函数f（x）在区间［a，b］上单调有界，则函数f（x）在［a，b］上可积.

定理5.5 若函数f（x）在区间［a，b］上可积，［c，d］⊂［a，b］，则f（x）在［c，d］上可积。